На одном из этапов Всероссийской олимпиады школьников по математике была предложена следующая задача.

Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказать:   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Представим любой из множителей в левой части неравенства (например, первый) в виде суммы:

1 + a = 2 − (b + c) = (1 − b) + (1 − c)

Воспользуемся теперь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел:

½ ((1 − b) + (1 − c)) ≥ √((1 − b)·(1 − c)), откуда   (1 − b) + (1 − c) = 1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))

Циклически переставляя переменные, получим систему из трёх неравенств:

{1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))
{1 + b ≥ 2·√((1 − a)·(1 − c))
{1 + c ≥ 2·√((1 − b)·(1 − b))

Перемножая почленно неравенства составленной нами системы, получим:

(1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·√(((1 − a)·(1 − b)·(1 − c))²)

или   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Исходное неравенство доказано.