Ой, у меня, кажется, внутричерепное давление поднялось.
Изверг ты, Плюша!

Ну, почему же? Просто садомазохист.

Угу. Математика -- отражение реальности. Иногда правда отражение отражения. Или даже отражение третьей степени.
И как отражение реальности математика -- единственно возможна. Может во мне говорит то, что мне мозг математикой несколько лет в универе промывали, но я думаю что всё же это так. Возможны, конечно, вариации. Скажем я долго радовался топологии, которая мне всё время напоминала матанализ наизнанку. Вроде о тех же вещах говорим, но с другой стороны подходим. Что в матане определение, то в топологии свойство.

ps. Чисто для справки. Помимо несуществующих отрицательных чисел есть комплексные -- там две "единицы". Но поскольку две единицы -- это не круто, некий Гамильтон придумал кватернионы, там единиц уже четыре.

Исходное сообщение Плюмбэкс
Проблему можно разрешить, позволив числам мирно соседствовать друг с другом

Во-во! Именно так, эти проблемы и решаются. ;)

Кстати, вспомнил. Заголовок "троичная математика", мне в первую очередь напомнил про уравновешенную троичную систему счисления, которая для записи чисел использует вместо цифр 0,1,2,...,9, всего три, 0,1, и ещё цифру, которая соответствует числу -1. А следом за этим вспоминается Бруснецов, который собрав троичный компьютер, потом убеждал всех, что неправильная трактовка логики Аристотеля, в которой есть лишь "истина" и "ложь", ущербна в принципе. Но я не думаю, что даже переход на троичную логику перевернёт математику. Учебников, быть может переписать придётся немало, но суть останется той же.

А вот не соглашусь, что математика отражает реальность. Математику привлекают для описания законов Вселенной и понимания процесоов, происходящих в ней, но сама по себе она остаётся абстрактной. И основные достижения математики будут актуальны в любой вселенной, для любых сознаний. Выбирается набор аксиом и определений и на них с помощью логики строятся различные теоремы. Но число как сущность, как идея, будет в любой Вселенной неизменным. Отрицательное число - вполне естественно. Можно запросто придумать любую троичную и какую угодно систему, только заранее оговорить её правила. Более того, такие системы уже есть (помимо обычной троичной, по аналогии с двоичной и десятичной). Взять ту же RGB и различные представления цветового пространства на 2-мерной плоскости.

Математика не связана напрямую с реальностью, но часто описывает более или менее точно её законы и поэтому создается впечатление, что связана. Очень часто совершенно казалось бы идиотские и никому не нужные разделы математики в дальнейшем оказываются необходимыми для описания законов вселенной и находят отражение в ней или оказываются полезными для разных прикладных вещей, вроде шифрования. Взять те же фракталы, неэвклидову геометрию, пространства Калаби-Яу, многомерность. Когда это всё придумывалось никто и не предполагал, что это может быть полезно и актуально.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
И основные достижения математики будут актуальны в любой вселенной, для любых сознаний. Выбирается набор аксиом и определений и на них с помощью логики строятся различные теоремы. Но число как сущность, как идея, будет в любой Вселенной неизменным.

Логика ведь -- это тоже раздел математики, придуманный нами, живущими в данной вселенной, которая имеет те физические законы, которые мы знаем, или ещё только узнаем, или даже не узнаем никогда. Математику придумали люди, и они не в состоянии придумать ничего принципиально другого взамен. Но это не значит, что другой разум, в другой физике, не сможет придумать что-то принципиально отличающееся.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Математика не связана напрямую с реальностью, но часто описывает более или менее точно её законы и поэтому создается впечатление, что связана.

Математика -- это лишь язык. Способ записи. Способ описать окружающий мир. Отражение.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Очень часто совершенно казалось бы идиотские и никому не нужные разделы математики в дальнейшем оказываются необходимыми для описания законов вселенной и находят отражение в ней или оказываются полезными для разных прикладных вещей, вроде шифрования. Взять те же фракталы, неэвклидову геометрию, пространства Калаби-Яу, многомерность. Когда это всё придумывалось никто и не предполагал, что это может быть полезно и актуально.

Вот только про геометрию не надо, а? ;)
Вся геометрия -- это описание окружающего мира. Планиметрия. Римановская геометрия сферы. Лобачевский создал свою геометрию, но когда он докладывал о ней, он явно заявил, что надо искать поверхность, на которой его геометрия будет верна. Все эти проективные геометрии, которые создавались по причине существования вполне прикладных задач черчения трёхмерных объектов и компьютерной графики.

Взять скажем бесконечность: её ведь нет в нашей вселенной. Абстракция? Человек придумал что-то, чего нету? Да нет. Бесконечность, если она появляется в задаче, означает лишь "что-то очень большое". Ток, который пробъёт любой транзистор, сожжёт любой проводник. Расстояние, которое человек в обозримом будущем не преодолеет. Промежуток времени, ждать конца которого, никто не будет. Это лишь отражение человеческого мышления, отражения стремления человека, упростить задачу, прежде чем решать её.

На самом деле, то, что каждая математическая теория, рано или поздно становиться полезной, говорит лишь об ограниченности человеческого мозга. Человек не в состоянии создать математическую модель, которая никакого отношения к нашей реальности не имеет.

Помимо всего прочего, ты упростил моё утверждение, на которое ответил. Там было сказано, что вся математика -- это отражение, или отражение отражения. Я помню теорию Галуа, которая создавалась как способ выяснить для любого многочлена разрешим он в радикалах или нет. С точки зрения практики, задача -- просто бред. Ну узнаю я, что некий многочлен 10-й степени разрешим в радикалах. И что дальше? Меня-то ведь, значения корней интересуют. Но, ведь, теория Галуа вся построена поверх теории групп и понятия поля. Но и то, и другое -- это отражение реальности. Я не знаю истории, в связи с какой задачей появилась понятие группы, но, например, первая группа пришедшая в голову человеку, могла быть группой афинных преобразований пространства. Поле же, это множество с определёнными свойствами, среди примеров таких множеств -- множество рациональных чисел, множество действительных чисел, множество комплексных чисел.

Ещё одно соображение, в пользу того, что математика лишь отражение: практически любая математическая теория, с которой я сталкивался за пять лет обучения, у меня вполне определённо ассоциировалась с евклидовой геометрией в трёхмерном пространстве. Более того, до тех пор пока я не мог провести аналогии между теорией и геометрией, у меня наблюдались определённые проблемы с пониманием темы. Многочлен, скажем, после первого курса у меня стопроцентов ассоциировался с многомерным пространством. А мысля о многомерном пространстве, я всегда представлял себе в голове пространство трёхмерное, как хорошо знакомый частный случай.

Лобачевский создал свою геометрию, но когда он докладывал о ней, он явно заявил, что надо искать поверхность, на которой его геометрия будет верна.

Где же тут отражение реальности? А если бы не нашли, что тогда отражалось бы?

Согласен с тем, что ограниченность сознания ограничивает нас при понимании и при развитии определенных разделов математики. Да, всегда легче понять не какую-то абстрактную вещь, а то, что ты можешь себе вообразить. Мы живём в мире, ощущаемом нами как трехмерный, можно сказать, что мыслим трехмерно, если исключить время. Поэтому в голове с трудом укладываются представления о многомерности. Это можно себе представить только размножением 3-мерного пространства, либо уйти в аналитическое представление, но там уже сложно говорить о понимании. Да, понятно, что эта матрица отражает N-мерную фигуру и вот это преобразование осуществляет её поворот вокруг оси, отвечающей за измерение K. Но вообразить себе это сложновато. С таким же успехом можно всё это заставить делать компьютер, которому глубоко фиолетово, какую там реальность это всё отражает. Если бы мы мыслили N-мерно, нам бы это было проще воспринимать.

Мне всё-таки кажется, что можно скорее говорить о том, что вселенная отражает математику. Взять например фракталы. Исключительно аналитическая штука. Как можно говорить, что они отражают нашу вселенную? И тем не менее, проводятся аналогии между формами природных объектов и фракталами. Но если подумать, почему так происходит? Потому что во вселенной действуют какие-то законы. На микроуровне существуют свойства объектов (частиц, самого пространства-времени), которые на макроуровне проявляются в том числе и в таких формах. А почему появились именно такие свойства и именно такие законы? Может быть как раз именно из свойств взаимодействия чисел? Просто потому, что при таких условиях по-другому и быть не может.

Я знаю, что есть попытки (более или менее успешные) вывода исключительно аналитически таких параметров, как массы частиц и многих других констант физики. Аналитически! То есть вообще не опираясь ни на какие законы, скопированные из свойств вселенной и постулированные, а исключительно на математические преобразования, которые действуют в любом мире.

Хотя, можно подумать и в другом направлении. Что такое само базовое понятие числа? Есть ли числа во Вселенной? Вот, например одно яблоко. Всё просто и понятно. Но что такое яблоко? Где оно есть? Только в нашем сознании. Для вселенной это просто набор атомов определенных элементов и где заканчивается стол, на котором лежит это яблоко, а где начинается само яблоко решает исключительно наше сознание. Ну, может ещё само яблоко :). Если углубиться ещё дальше, то атом это тоже не шарик, как и частицы, его составляющие. Можно говорить о размазанных сгустках энергии, о вероятностях и так далее. И где тут теперь яблоко (1 шт.) Так может во Вселенной вообще и чисел-то никаких нет? Как и что считать на таком низком уровне. Из этого можно сделать вывод, что математика скорее отражение нашего сознания, чем вселенной.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Лобачевский создал свою геометрию, но когда он докладывал о ней, он явно заявил, что надо искать поверхность, на которой его геометрия будет верна. Где же тут отражение реальности? А если бы не нашли, что тогда отражалось бы?

Значит математическому миру пришлось бы признать свою профнепригодность, посыпать голову пеплом и уйти в монастырь :)

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Мне всё-таки кажется, что можно скорее говорить о том, что вселенная отражает математику.

Это значит путать причину со следствием. Вселенная была раньше математики. Математика -- это лишь набор способов, которые позволяют формализовать любую задачу, с которой сталкивается человек.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Взять например фракталы. Исключительно аналитическая штука. Как можно говорить, что они отражают нашу вселенную? И тем не менее, проводятся аналогии между формами природных объектов и фракталами.

Не удивительно. Мандельброт рассказал миру о том, что такое фракталы книгой под названием "Фрактальная геометрия природы".
Несколько раз перед экзаменами меня очень весело клинило. Очередная математическая теория вытесняла из мозга всё лишнее, и становилась основной моделью, в которой я обмозговывал наблюдаемый мною мир. В такие моменты, бывало, я видел чёткие аналогии между автобусом и окружностью, между расширением поля и моим выходом за пределы квартиры. Уж молчу про то, как весь мир представляется совокупностью дифференциальных уравнений. Это я к тому, что если зациклиться в чём-то то можно привязать к этому всё что угодно.
Фракталы, это немного другой вариант. Но... Блин, с одной стороны мне не хочется вдаваться в подробности о том, что такое фракталы -- там ничего сложного, но всё же, -- а с другой стороны мне не придумать аналогичного примера, для понимания которого, было бы достаточно знаний по математике полученных в средней школе. А объяснить словами -- абстрактно, -- у меня не выходит. Как то оно совсем абстрактно получается.
Нну скажем такой пример. Физика регулярно натыкается на схожие формулы в разных частях этой самой физики. Точно так же как одна и та же идея фрактала, появляется в разных физических процессах. И что? Это говорит лишь о том, что процессы чем-то схожи. Не законы. Процессы в нашем мире однообразны и похожи один на другой.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Я знаю, что есть попытки (более или менее успешные) вывода исключительно аналитически таких параметров, как массы частиц и многих других констант физики. Аналитически! То есть вообще не опираясь ни на какие законы, скопированные из свойств вселенной и постулированные, а исключительно на математические преобразования, которые действуют в любом мире.

Не слышал про это. Но не верю я в такие попытки. Есть штука под названием "нумерология", при помощи которой можно вывести всё, что угодно, стоит только в неё поверить. Но если взять науку под названием матстатистика, и пройтись по всем нумерологическим "доказательствам", то от них ничего не останется.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Хотя, можно подумать и в другом направлении.
[...]
Из этого можно сделать вывод, что математика скорее отражение нашего сознания, чем вселенной.

Да. Так говорить будет правильнее.

Это значит путать причину со следствием. Вселенная была раньше математики. Математика -- это лишь набор способов, которые позволяют формализовать любую задачу, с которой сталкивается человек.

Математика как наука, разрабатываемая человеком - да. Я имею в виду сам набор математических законов, открытых и неоткрытых пока.

Нумерология - это да, это уже к гадалкам. Тоже не сильно верю. Но про те попытки именно физики упоминали. Собственно, Теория Струн тоже, насколько я понял, выводит аналитически многие из параметров, являющиеся константами в стандартной модели. Но у неё своих проблем хватает и её вообще некоторые считают недоказуемой.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Математика как наука, разрабатываемая человеком - да. Я имею в виду сам набор математических законов, открытых и неоткрытых пока.

Нее. Математика -- это наука, разрабатываемая человеком. И ничто больше. Законов там нет. Там есть лишь следствия из аксиом, можно сказать, свойства математических моделей. Математика -- это в первую очередь язык, который позволяет говорить об этих свойствах определённо. Школьная алгебра, например. Понятие переменной, уравнения, функции одной переменной. Потом постулируется коммутативность, ассоциативность сложения и умножения. Дистрибутивность одного относительно другого. И это всё. Остальные заморочки, типа формулы корней квадратного уравнения можно было бы уже и не изучать -- если понадобиться, можно и самостоятельно вывести (было дело, выводил я её на вступительном экзамене в универ). Их разбирают (а в универе ещё мозги компостируют формулами корней уравнений третьей и четвёртой степени) но это не столько потому, что это неотъемлимая часть математики, сколько затем, чтобы:
a) мне не пришлось несколько лет сидеть и выводить формулу Кардано если мне вдруг приспичило решить аналитически уравнение третьей степени
б) демонстрация мощи записи, пример того, когда и как её надо использовать.

Но формула -- это не "закон". Закон -- это что-то вроде постулата: так не делай, а то в тюрьму посадят; или в физике, закон как квинтэссенция долгих наблюдений за закономеростями в протекании каких-то процессов. То что физические законы подчастую записываются математической формулой -- это лишь потому, что математика для этого создана, для записи.

А вот не зная способа записи, не зная что такое переменная, вывести формулу будет сложно. Будет крайне сложно даже говорить о квадратном уравнении. Так что математика -- это запись. Количество или расстояние можно записать числом. Местоположение можно записать вектором, который суть несколько чисел. Закономерность можно записать формулой.

Кстати почему Архимеда считают величайшим математическим гением. Он имея лишь убогую до невозможности запись, умудрился отметиться в куче математических направлений. Он интегрировать умудрялся.

А вот последователи Ньютона с Лейбницем, используя их "флюксии" и "дифференциалы" регулярно натыкались на парадоксы. Дело в том, что ни Ньютон, ни Лейбниц не озаботились тем, чтобы дать чёткую базу своим методам. До тех пор, пока не пришёл Коши, и не свёл все эти "флюксии" во единую систему. Расписал все определения. Дал чётко определённый способ записи. Всё знакомые с работой проделанной Коши, соглашаются, что большого ума для систематизации не надо. Он ведь никаких новых утверждений математике не дал. Он просто создал язык матанализа и записал известные утверждения на этом языке, снабдил доказательствами и дал им названия (слова в лексиконе мат языка), типа "признак Коши сходимости последовательности". И любой, кто столкнётся теперь с матанализом, будет на каждом шагу спотыкаться о фамилию Коши, которой там больше, чем Ньютона или Лейбница.
То есть Коши был бОльшим математиком, нежели Ньютон. Вот нисколько не умаляя заслуг Ньютона, я скажу что так и было. Ньютон был скорее физиком, который по необходимости разрабатывал мат методы.

Исходное сообщение Dron_Shimoda
Математика как наука, разрабатываемая человеком - да. Я имею в виду сам набор математических законов, открытых и неоткрытых пока.

После всего сказанного возвращаюсь обратно. Думаю, что говоря о "математических законах", ты подразумеваешь свойства математических моделей.
Все математические "законы" с одной стороны, никакого отношения к реальности не имеют. Взять ту же планиметрию, евклидову геометрию на плоскости. Мы ведём разговоры о "точках" и "прямых", но никто никогда не видел точку или прямую. Точка имеет размеры (длину, высоту, ширину) равные нулю. Такого в принципе не бывает. Прямая бесконечно длинная в одном направлении, а во всех других -- бесконечно тонкая. Такого тоже не бывает. И всё действо происходит на какой-то "плоскости". Рассуждая о таких небывалых объектах, мы делаем какие-то выводы. А потом переносим их на практику: говорим, что мол ваш участок имеет площадь 2.71828 га, и поэтому платите в казну налог равный 2.71828*100 шекелей. Мы лишь можем верить в то, что математическая модель, которой мы пользуемся соответствует действительности.
С другой стороны, математические "законы" подтверждаются опытом. Для математической логики опыт -- ничто. Но мы, тем не менее, верим, потому что знаем: над моделью работал не один мозг, доводя её до кондиции, чтобы она соответствовала реальности.
Все математические построения, за очень редким исключением, родились как способ решить какую-то вполне практическую задачу. Даже самые абстрактные теории. Это просто модели реального мира. И сами по себе эти свойства моделей ничего нового в наше понимание мира не привносят. А вот когда мы верим, что эти свойства можно перенести на реальный мир, вот тогда привносят. И мы можем говорить, что математика -- это отражение мира.

Математика -- это инструмент. Инструмент который нужен физику, химику, программисту. Если не будет пользователей инструмента, он заржавеет в углу. А пока пользователи есть, им всё время не хватает в инструменте какого-то функционала, поскольку они всё время сталкиваются с новыми и новыми задачами. И математика развивается. Говорить о чистой математике можно лишь с большими оговорками. Я помню свои споры с начальником, который по образованию был инженер (математики имеют тенденцию делить всех связанных с математикой на математиков и инженеров). Для него математика была чистой воды инструментом. И мы спорили. Он доказывал мне свою точку зрения. Я пытался доказать, что всё-таки не всегда. Что чистая математика, голая теория не привязанная к практике существует. Тогда мы не смогли друг друга переубедить. Но сегодня, если бы мы с ним встретились, я с ним согласился бы. С небольшими оговорками (его взгляды, по-моему, излишне упрощают ситуацию), но согласился бы.

Исходное сообщение Плюмбэкс
    Нечеловечески трудно вырваться за пределы шаблонов.
    Что и неудивительно, поскольку само понятие "человек" - один из них.
    Пытаюсь представить себе математику, которая бы не повиновалась привычным законам. Математику, в которой существовало бы не два разных направления, ведущих в противоположные стороны от нуля, а три. Не положительные и отрицательные числа - а красные, синие и жёлтые.
    Не получается.
    Хуже всего не это. Хуже всего то, что я не могу понять природу этой невозможности.
    В том, что заданные условия неким образом противоречат сами себе? Что они нечётко заданы? В устройстве моего мозга?
    Чему в этой троичной математике будет тождественно равенство "Пять минус шесть"? Или, конкретизируя знак числа, "Красные пять минус красные шесть"? В сокращённой записи - "к5 - к6"?
    Жёлтая единица и синяя единица?
    Мило. То есть числа могут мирно соседствовать друг с другом, не прибавляясь друг к другу? Поскольку находятся они на разных шкалах, что и может быть моей изначальной ошибкой.
    Что получится, если к красной пятёрке прибавить синюю двойку?
    Поскольку каждый знакоцвет в данной математике является взаимоотрицательным к двум другим, то красная пятёрка равносильна синей и жёлтой антипятёрке одновременно.
    Следовательно, "к5+с2=к3+ж2"?
    Сложение продолжается?
    Проблему можно разрешить, позволив числам мирно соседствовать друг с другом без их взаимного сложения через значок "&" - в этом случае равенство приобретает вид "к5+с2=к3&ж2". Однако я не вполне уверен, каким образом эту необходимость обосновать.

    

    На операциях умножения и деления мой мозг буксует.
    Когда я пытаюсь представить себе, что должно получиться в результате умножения синей пятёрки на жёлтую тройку, моё подсознание пытается в полном составе уйти в отпуск, распевая песенку: "Мёд - вот такой вот он странный предмет. Всякая вещь или есть, или нет".
    Именно на принципе "Всякая вещь или есть, или нет" построена традиционная математика.
    Представить себе, как нечто может не существовать двумя симметричными и притом взаимоисключающими способами...
    Что значит "умножить положительную пятёрку на отрицательную тройку"?
    Пять раз утвердить отрицательную тройку.
    Утвердить.
    Бытие - базовая категория.
    Но ведь каким-то образом я представляю себе отрицательные числа, которых вообще не существует в природе? Если не проводить сомнительных параллелей с античастицами или тёмной энергией.
    Отрицательные числа я представляю себе по аналогии с положительными. Небытие - по аналогии с бытием, простирающимся По Ту Сторону.
    Хотя нетрудно заметить, что традиционная математика асимметрична. Пять умножить на три будет пятнадцать. Сколько будет "минус пять" умножить на "минус три"? Тоже пятнадцать.
    Отрицание отрицания даёт утверждение.
    Но что должно давать краснение желтения? Или синение краснения?
    Попробуем найти ответ там же, где нашли ответ на вопрос об отрицании отрицания. Почему мы полагаем, что отрицание отрицания даёт утверждение? Потому что так происходит в реальной жизни. Потому что отрицание маминого "Нельзя" сводится к "Можно". Но в реальной жизни мы не сталкиваемся - или крайне редко сталкиваемся - с ситуациями тремя равнозначных и взаимоисключающих вариантов.
    Наша математика и логика является отражением реальности.
    Но - единственно ли возможным? Или лишь наиболее экономичным, своего рода путём наименьшего сопротивления?
    Я не призываю отрекаться от неё, как иные безумцы, для меня это лишь разновидность забавного мысленного эксперимента.
    Быть может, закон отрицания отрицания является лишь плодом произвола, спецификой нашей Вселенной, лишённой основания в мире троичной математики? И следует применить акт диктаторского произвола, самолично установив, к чему должно приводить "синение желтения" или "желтение краснения"?

Интересная идея, но почему-то она напомнила мне о операциях с мнимыми величинами (хотя там только двухмерные зависимости), где тоже нельзя складывать слагаемые (хотя можно приводить к другому виду). Но все же, необходимо. мне кажется найти то. к чему это можно использовать, а потм уже разрабатывать теорию, в конце концов вся математика появилась именно так

я же теперь на два часа подвисну....
достану алгебру и буду переводить в цвета, а из цветов уж...
чёрт.