С некоторым капитальным запозданием публикую ответ пользователя Вконтакте Андрей Сафонов на мой вопрос, поставленный в сообщении http://любосвет.рф/post268724035/.
Теорема.
Пусть n –основание системы исчисления. p –любое число от 1 до n. K=(n-1)*p.
Сумма разрядов числа К равна n-1.
Доказательство.
K=(n-1)p =n(p-1) +(n-p).
Т.о. число K имеет вид p-1_ n-p
Т.о. “сумма разрядов” = p-1+n-p=n-1