Найти частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

y″ − 4·y′ + 4·y = e³ˣ   y(0) = 0;   y′(0) = 1

Решение дифференциального уравнения ищем в виде:   y = y₀ + y₁, где

y₀ — общее решение однородного уравнения,

y₁ — одно из частных решений неоднородного уравнения.

Характеристический многочлен   k² − 4·k + 4 = (k − 2)² = 0   имеет действительный двухкратный корень   k₁ = k₂ = 2

Общее решение однородного уравнения   y₀ = (C₁·x + C₂)·e²ˣ.

C₁, C₂ — постоянные интегрирования.

Одно из частных решений неоднородного уравнения найдём методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.

Пусть y₁ = A·e³ˣ. Тогда y₁′ = 3·A·e³ˣ = 3·y₁,   y₁″ = 3²·y₁ = 9·y₁.

y₁″ − 4·y₁′ + 4·y₁ = (9 − 3·3 + 4)·y₁ = y₁ = A·e³ˣ, откуда   A = 1.

Тогда   y₁ = e³ˣ,   y = y₀ + y₁ = (C₁·x + C₂)·e²ˣ + e³ˣ

Постоянные интегрирования C₁, C₂ найдём из начальных условий.

При   x = 0     y = C₂ + 1 = 0, откуда   C₂ = −1.

Тогда   y = (C₁·x − 1)·e²ˣ + e³ˣ

Дифференцируем:   y′ = (2·C₁·x + C₁ − 2)·e²ˣ + 3·e³ˣ

При   x = 0     y′ = C₁ − 2 + 3 = C₁ + 1 = 1, откуда   C₁ = 0

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

y = e³ˣ − e²ˣ

Если Вам нужно грамотно и без посредников выполнить контрольную или курсовую работу — обращайтесь. Список предметов и номер телефона указаны у на моём сайте http://integral-ua.narod.ru/