После смерти отца (астронома Михаила Васильевича) в 1868 году Ляпунов вместе с двумя братьями (будущие математик Александр и лингвист Борис) и матерью Софьей Александровной переехал в Нижний Новгород, где получил образование в гимназии. Музыкой будущий композитор интересовался с раннего детства, однако систематические занятия начались лишь с открытием в Нижнем Новгороде отделения Русского музыкального общества в 1874 году. В 1878 году по рекомендации Николая Рубинштейна Ляпунов поступил в Московскую консерваторию в классы фортепиано Карла Клиндворта и композиции Сергея Танеева.
Ляпунов окончил консерваторию в 1883 году, и некоторое время спустя познакомился с Милием Балакиревым, который предложил ему переехать в Санкт-Петербург. Под руководством Балакирева Ляпунов написал первые свои крупные сочинения, сблизился с композиторами «Могучей кучки». В 1908 году он был избран директором Бесплатной музыкальной школы, с 1910 по 1923 занимал пост профессора Петербургской (Петроградской) консерватории. В 1923 году композитор эмигрировал в Париж, где руководил музыкальной школой для русских эмигрантов, а также выступал в качестве дирижёра. Ляпунов умер 8 ноября 1924 года в Париже от инфаркта.
Ляпунов, наряду с Антоном Аренским, Александром Глазуновым, Василием Калинниковым и Сергеем Рахманиновым, принадлежит к композиторам позднего русского романтизма, промежуточным по времени между представителями «Могучей кучки» и композиторами нового стиля (такими как Игорь Стравинский и Сергей Прокофьев). Ранние сочинения Ляпунова испытывают влияние Балакирева, в более поздних проявляется самобытный стиль композитора, нередко использовавшего в своём творчестве народную музыку.
12 Études d'exécution transcendante, Opus 11
1. Berceuse (3,31)
2. Rondes des Fantômes (3,02)
3. Carillon (6,05)
4. Térek (4,01)
5. Nuit d'Eté (7,22)
6. Tempête (4,29)
7. Idylle (4,36)
8. Chant Épique (8,31)
9. Harpes Éoliennes (6,18)
10. Lesghinka (7,03)
11. Rondo des Sylphes (3,58)
12. Elégie en Mémoire de François Liszt (11,17)
Будучи высококлассным пианистом, Ляпунов создал многочисленные сочинения для фортепиано высокой сложности, среди которых наиболее известны Двенадцать этюдов высшего мастерства, посвящённых памяти Ференца Листа. В 1910 году Ляпунов исполнил и записал ряд собственных сочинений на механическом пианино «Вельте-Миньон».
Основные сочинения Ляпунова