что-то кому-то доказать?

По-моему, есть ты прав, доказывать что-то не имеет смысла.
К тому же, люди трудно расстаются со своими заблуждениями, в особенности, если они самоуверенные и тупо упёртые.

Они не выйдут за рамки своего незнания или заблуждения, потому что они боятся оказаться неправыми. Они лучше останутся незнающими, упорствуя в своём незнании, чем согласятся принять истину, признав, что были неправы.
Это называется узость мышления.

Как пел БГ, "они не выйдут из клетки, потому что они не хотят".