Математики заметили, что логика могла бы стать математической наукой, но таковой еще не являлась. Предвестники нового этапа появились в работах Лейбница, когда традиционная задача математики: “заменить вычисления рассуждениями” была инвертирована и превратилась в задачу математической логики: “заменить рассуждения вычислениями”. Аппарат для этого начал возникать в трудах логиков XIX века, прежде всего английской школы — де Моргана, Буля, и американского логика Пирса... А развитие по-настоящему пошло лишь в XX веке, когда математика доросла до того, чтобы применять свои методы для анализа своей собственнойструктуры, и, таким образом, первой из наук перешла со стадии экстенсивного роста на стадию рефлексии9. Появилась новая наука — математическая логика, унаследовавшая задачи философской логики, ноиспользовавшая для их решения математический аппарат. Как сформулировал А. А. Марков: «Математическаялогика — логикапопредмету,математика по методу».
Конечно же, хотя замена средств и усилила мощь методов, она привела и к ограничениям. Если традиционная логика прекрасно приспособлена для работы с не до конца уточненными понятиями, математическая может иметь дело лишь с терминами, укладывающимися в рамки (хотя и неизмеримо расширенного прежде всего ее собственными усилиями) математического языка. Это уже точная наука со всеми ее достоинствами и недостатками точной науки.
Естествоиспытатели, евреи и математики, конечно же, не члены деления в смысле традиционной логики. Один и тот же человек может входить во все эти группы, и более того, иногда вхождение в пересечение групп помогало первопроходцам. Например,германский еврей-математик Г. Кантор создал теорию множеств, вдохновленный, взначительной степени, проблемой истолкования многих положений Талмуда и Каббалы, касающихся таких бесконечных сущностей, как Бог и Высшие Силы.