Парадоксы логические

Речь пойдет о парадоксах, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла. Начнем с парадоксов простых и постепенно будем продвигаться к оным более трудным.

Парадокс лжеца

Классический, знакомый чуть ли не каждому человеку, простенький, но не банальный, древнегреческий пример таких парадоксов; с него и начнем наше повествование.

Что, истина или ложь, слетает с уст человека, который произносит "Я лгу" и больше ничего? С одной стороны, он говорит неправду, т.к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает истину, а, следовательно, лжет.

Этот парадокс имеет множество вариаций, и вот одна из них (вариант Эвбулида):

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Он сам критянин, соответственно, лжец. Отсюда, критяне не лгуны, т.е. правдивы => все критяне лжецы.

Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако, некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер, а другой - Филипп Клосский - покончил жизнь самоубийством.

Парадоксы, названные мною коротенькими

Никогда не говори "никогда".
Каждое правило имеет исключение.
Всякое обобщение неверно.

Парадокс кучи

Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе. Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху. 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс - сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей.

Существует также и обратный парадокс:

Имеется утверждение: один элемент не составляет кучи. Если n элементов не составляют кучи, то и n + 1 элемент не составляет кучи. Отсюда, никакое количество элементов не есть куча.

Другой вариацией этого парадокса является парадокс лысого.

Парадокс из "Дон Кихота" Сервантеса

"Первым делом явился к нему [Санчо Пансе] один приезжий, который в присутствии майордома и прочей челяди обратился к Санчо с такой просьбой:
- Я прошу у вас, сеньор, совета по очень важному и запутанному делу. По владениям одного вельможи протекает многоводная река; через нее переброшен мост, а около него стоит виселица и воздвигнуто здание, где заседают четверо судей. Эти судьи должны наблюдать за строгим выполнением закона, изданного владельцем поместья. Закон этот гласит: "Каждый, кто проходит по этому мосту, обязан под присягой указать, куда он идет и с какой целью. Если он скажет правду, его беспрепятственно пропускают дальше, если солжет, тогда его осуждают на смерть и вешают на стоящей рядом виселице". С тех пор как был издан этот суровый закон, много людей переходило через мост, и, как только выяснялось, что они говорили правду, судьи отпускали их на все четыре стороны. Но недавно какой-то прохожий показал под присягой, что он явился сюда для того, чтобы его повесили на этой виселице. Клятва эта смутила судей, они рассуждали так: "Если мы отпустим этого человека на свободу, то выйдет, что он поклялся ложно, а в таком случае, согласно закону, он должен быть казнен. Но если мы приговорим его к виселице, то тогда окажется, что он говорил правду, поклявшись, будто явился сюда для того, чтобы его повесили, - и следовательно, согласно тому же закону он должен быть отпущен на свободу". Так вот я и спрашиваю вас, ваша милость сеньор губернатор, что делать судьям с этим человеком, потому что они и по сей час пребывают в смущении и нерешительности..."

Санчо отпустил того человека, следуя наставлениям Хитроумного Идальго Дон Кихота Ламанчского о том, что в сомнительных делах нужно избирать путь милосердия.

Парадокс стрелы

Возьмем лук и стрелу. Натянем тетиву и отпустим. Стрела полетит. Теперь рассмотрим ее в некий момент времени, приходящийся на полет. С одной стороны, она покоится, но тогда, если бы она не двигалась, она не летела бы вообще. Отсюда, стрела находится в одном месте, и в нем же не находится, а находится в двух местах сразу.

Парадокс Ришара (1906)

Рассмотрим множество натуральных чисел, каждое из которых может быть однозначно определено осмысленным текстом объемом не более тысячи слогов. Очевидно, таких чисел конечное количество, т.к. таких текстов число тоже конечное. Данный текст кодирует наименьшее натуральное число, не входящее в вышеупомянутое множество.

Проанализируем написанное. Текст осмысленный и длиной не более тысячи слогов; значит, кодирует число из данного множества. С другой стороны, по утверждению, он определяет число, не принадлежащее этому множеству. Следовательно, текст неосмысленный.

Парадокс пути

Пусть вам надобно дойти от этого компьютера до двери или противоположной стенки. Вы встаете и начинаете идти. За некоторое время вы пройдете расстояние, равное половине пути, потом половину от оставшегося, т.е. одну четверть целого, потом еще половину, т.е. одну восьмую, и так далее. Расстояние между вами и вашей целью будет каждый раз сокращаться вдвое, но вы ее никогда(!) не достигнете.

Правда, опыт тысяч поколений и миллиардов людей позволяет нам убедиться в обратном. Парадокс!

Парадокс "Ахиллес и черепаха"

Рассмотрим апорию Зенона Элейского (около 490 - около 430 до н. э.). Это более слабое утверждение предыдущего парадокса, тоже детища Зенона. Суть же этого в следующем: Ахилл должен догнать черепаху, которая находится на некотором расстоянии от него (действие происходит на прямой линии). Как уже можно предположить, он ее не настигнет. И вот почему: пока Ахилл добежит до ее начального местоположения, она пройдет некоторое расстояние и будет уже в другом месте; когда он добежит в свою очередь до него, черепаха будет еще дальше и т.д.

В этом парадоксе есть еще одно затруднение - математическое:

Пусть начальное расстояние между нашими героями - a, и скорость Ахилла больше скорости черепахи в k раз. Когда Ахилл пробежит расстояние a, черепаха проползет a / k; когда он преодолеет и это расстояние, она отползет еще на a / k2. Допустим, что в какой-то момент Ахилл догонит черепаху. Запишем пройденные ими расстояния:

SА = a + a/k + a/k2 + ...
SЧ = a/k + a/k2 + a/k3 + ...

Количество отрезков, пройденных Ахиллом равно количеству отрезков, пройденных черепахой. С другой стороны, каждому отрезку, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахилла. Но Ахиллу нужно пройти еще и первоначальное расстояние a, т.е. на один отрезок больше. Получается, если мы обозначим количество пройденных черепахой отрезков через n, что n + 1 = n. Что нехорошо.

Если честно, то я не согласен с математическим затруднением (взятым из источника #6), а точнее с той его частью, что "каждому отрезку, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахилла". Последний отрезок пути, пройденный черепахой, окажется самым коротким из всех. Сие ввиду того, что каждый отрезок, пройденный черепахой, короче пройденного ею раньше. Аналогично с Ахиллом. Если последний отрезок пути Ахилла меньше или равен оному черепахи, то либо уже черепаха догоняла его, либо они имели равную скорость соответственно, что невозможно. Следовательно, ему нельзя будет сопоставить равный отрезок, и n = n. Поэтому предлагаю считать математическое затруднение неверным. Мнения желающих высказаться по этому вопросу будут с интересом рассмотрены на absolute@inbox.lv.

Парадокс осужденного

Начнем с наиболее распространенной формулировки данного парадокса:

Приговоренного бросили в тюрьму в субботу. "Тебя повесят в полдень", - сказал ему судья, - "в один из семи дней на следующей неделе. Но когда именно тебя повесят, ты узнаешь лишь утром в день казни". Судья славился тем, что всегда держал свое слово.

После произнесенного судьей, оставшись в камере наедине с осужденным, адвокат рассуждал так: "В последний день следующей недели, т.е. в субботу (неделя на самом деле начинается в воскресенье, а не в понедельник, как думают нормальные люди ;) - прим. absolute), тебя повесить не могут, ведь ты бы уже знал об этом в пятницу днем, после того как тебя не повесят. Значит, последним днем, когда тебя могут повесить, является пятница. Но и она отпадает по той же самой причине: о казни в пятницу ты бы знал уже в четверг после обеда. Аналогично отпадают все остальные дни, кроме завтрашнего. Но и завтра тебя не могут повесить, т.к. ты уже сейчас знаешь это".

Таким образом, не нарушив судейского обещания, привести приговор в исполнение невозможно, хотя в самом приговоре нет никаких логических противоречий.

Другими формулировками этого парадокса являются "яйцо-сюрприз" (когда ваш друг кладет яйцо в одну из N коробок и утверждает, что обнаружение яйца при последовательном открывании коробок станет для вас неожиданностью) и "тринадцать карт" (когда на стол выкладывается карта, и следует последовательное называние карт в определенном порядке, и утверждается, что невозможно вычислить карту до тех пор, пока ваш друг, сидящий напротив, не скажет, что названная карта является выложенной).

Источником этого парадокса может служить следующая история: как-то раз в 1943 или 1944 году шведское радио сообщило о том, что на следующей неделе будет объявлена учебная воздушная тревога. Чтобы проверить готовность шведских ПВО учения решено провести внезапно, т.е. ни один человек не сможет предугадать в каком часу она будет объявлена. Л. Экбом, преподаватель математики из Стокгольма, усмотрел в этом логический парадокс и обсудил его со своими студентами, а позже один из его учеников, будучи в 1947 году в Принстоне, услышал одну из вариаций этого же парадокса из уст известного австрийского, с 1940 года жившего в США, математика и логика Курта Геделя (1906 - 1978).

Основная попытка разрешить этот парадокс базируется на неоднозначности трактовки понятия "знание". Что считать таковым? Либо когда человек знает, как в данном случае, из уст другого, который никогда не лжет, что какое-то событие должно произойти и поэтому в этом абсолютно уверен (и тогда парадокс действительно существует), либо когда событие уже произошло, ведь как бы ни был человек уверен в том, что оно произойдет, он этого не знает, до тех пор, пока оно не случится (и тогда парадокса нет - палач приходит, например, в среду, и узник, после рассуждений адвоката, будет очень ему удивлен). Следовательно, нужно договориться о терминах, а это, по уже известному нам замечанию Webster`а, вещь полезная.


http://absolute.times.lv/psm/paradoxes/paralog.html