Родился 18 (30) ноября 1859 в Ярославле в семье ученого-астронома (старший брат – Александр Ляпунов – математик, член-корреспондент АН СССР; младший брат – Борис Ляпунов – филолог-славист, академик АН СССР). В 1873–1878 занимался в музыкальных классах при Нижегородском отделении Императорского русского музыкального общества у известного педагога В.Ю.Виллуана. В 1883 окончил Московскую консерваторию с золотой медалью по классам композиции С.И.Танеева и фортепиано П.А.Пабста. К началу 1880-х годов относится страстное увлечение Ляпунова произведениями авторов Могучей кучки, в особенности М.А.Балакирева и А.П.Бородина. По этой причине он отклонил предложение остаться преподавателем Московской консерватории и с осени 1885 переселился в Петербург, став самым преданным учеником и личным другом Балакирева.