Гласная в окончании прилагательных мужского рода в русском языке зависит от ударения: безударная - ы/и, под ударением - о. В украинском не зависит. Но само ударение в большинстве случаев соответствует русскому, если прилагательные образованы одинаковым способом, особенно при помощи суффикса -ск-/-ськ-. (В других случаях бывают несовпадения, например новый/новий, старый/старий, но здесь обычно в украинском двойная норма: новий, старий - допустимые варианты).

Названия районов - это прилагательные, в украинском языке единственной формы: на -ський, в русском: на -ский (безударное) или -ской (под ударением). Но украинское безударное -ський всегда соответствует русскому -ский, а ударное русскому -ской: московский/московський, одесский/одеський, тверской/тверський, костромской/костромський ... Иногда от ударения (а по-русски и от гласной) зависит смысл: Сумской/Сумський - фамилия, сумский/сумський - прилагательное. Встречается употребление "Сумской район", это неправильно.

Большущий справочник, многократно переиздававшийся "Административно-территориальное деление СССР" название района указывает: Сумский.  Правильно? Почитаем его дальше... дальше... ОГО! Да в нём все районы Украины кончаются на -ский!

Например, Броварский. По-украински Броварський, так что надо всё-таки Броварской. А также правильно  Межевской район (Днепропетровской обл.) и Лозовской (Харьковской), в остальных вроде бы по-украински -ський безударное.