Если лень отмывать чайный налёт, не отмывайте.
Пару раз выпейте из этой чашки чай с лимом. Он обидится, и сам уйдет.
В отстутствие лимона подойдут и другие кислости, как-то: черная смородина, и пр. и т. п.