Математика

Александр Бердников, Алексей Воропаев, Сергей Дориченко

Жила-была комиссия

Некая комиссия принимает решение по любому вопросу большинством голосов. В комиссию входят трое — председатель, представитель народа и  эксперт, и голосуют они по очереди именно в таком порядке. Каждый говорит либо «да», либо «нет», и если хотя бы двое сказали «да», принимается решение «да», а если хотя бы двое сказали «нет» — принимается решение «нет».

Эксперт не зря получил свой диплом, и что бы там ни говорили председатель и парень из народа, голосует независимо, выбирая правильное решение с  вероятностью 0,9 (ошибается в среднем лишь в 1 случае из 10). Председатель тоже толковый малый, но выбирает правильное решение с вероятностью лишь 0,7 (в среднем в 7 случаях из 10). А вот представитель народа...

Вариант № 1: подхалим

В позапрошлом году представитель народа оказался подхалимом и просто копировал голос председателя. Понятное дело, в итоге председатель всё и  решал — его голос удваивался и автоматически утверждался комиссией, — так что верное решение принималось с вероятностью 0,7.

Вариант № 2: шутник

В прошлом году представитель народа оказался, мягко говоря, несерьёзным парнем и прямо перед голосованием бросал монетку: «орёл» — «да», «решка» — «нет». Монетка оказалась «честной» — выдавала и орла, и решку с вероятностью 0,5, — так что вероятность принять верное решение у  представителя народа уменьшилась и стала равной 0,5. Казалось бы, и  комиссия в целом теперь должна голосовать хуже?

Давайте разбираться. Когда эксперт прав, в половине случаев шутник его поддержит — вот уже 45% случаев, когда решение будет верным. И если председатель прав, то в половине случаев шутник его поддержит — это ещё  35% случаев, когда решение верное.

Стоп, ведь те случаи, когда правы и эксперт, и председатель, и шутник, мы  посчитали дважды. Зато не посчитали случаи, когда правы и эксперт, и  председатель, но шутник их не поддерживает. В среднем это же одно и то же число — шутник ведь одинаково часто и прав, и неправ. Сколько мы  посчитали лишнего, столько и забыли. Значит, итоговый ответ: 0,45 + 0,35 = 0,8. Очень странно — вероятность принять верное решение возросла.

Вариант № 3: оппозиционер

В этом году представитель народа оказался оппозиционером к власти и всегда голосовал строго противоположно председателю (если тот «за», то он — «против», и наоборот). Тем самым, теперь его вероятность выбрать верное решение равнялась 0,3 — меньше, чем в двух предыдущих вариантах! И  что же? Комиссия принимала правильные решения лучше, чем когда бы то  ни было, — с вероятностью 0,9. Ведь теперь всё решал эксперт — двое других всегда давали один голос «за» и один голос «против», так что голос эксперта автоматически удваивался.

В чём же дело?

Но как всё меньшая вероятность у парня из народа голосовать правильно только улучшала общий результат? Всё просто! Когда председатель и эксперт согласны друг с другом, всё решают они — от действий парня из народа ничего не зависит. Процент этих случаев один и тот же для всех трёх вариантов (кстати, чему он равен?). Голос парня из народа влияет на  ситуацию только в остальных случаях — когда председатель и эксперт не  согласны между собой. При варианте № 1 этот голос дублирует председателя, при варианте № 3 — дублирует эксперта. Ясно, что результаты выше, когда копируешь более компетентного. А вот при варианте № 2 голос парня из  народа (вернее, монетка) выбирает с равной вероятностью то голос председателя, то голос эксперта, то есть даёт среднее увеличение по  сравнению с вариантами № 1 и № 3. И общий результат получается средний.

А дальше?

Тем, кто хочет продолжить своё знакомство с задачами по теории вероятностей, рекомендуем замечательную книгу Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями». По мотивам одной из  задач этой книги и написана эта небольшая статья.

Художник Николай Воронцов

elementy.ru