Математика

Михаил Гельфанд

В 2014 году британский Королевский монетный двор решил изменить дизайн монеты в 1 фунт и  сделать её в форме правильного 12-угольника — для защиты от подделок. Но торговые автоматы «узнают» монету по её ширине, а у такой монеты ширина сильно зависит от того, как её вставили в щель. Поэтому в 2016 году углы сгладили, а стороны закруглили. И хотя обновлённую монету автоматы стали хорошо «узнавать», её ширина осталась переменной: от 23,03 мм (между противоположными сторонами) до 23,43 мм (между углами). Монету выпустили 28 марта 2017 года:

А можно ли делать многоугольные монеты постоянной ширины?

Можно. Опишем, как это делать для правильного многоугольника с нечётным числом сторон. Поставим циркуль по очереди в каждую вершину и проведём дуги между противоположными вершинами. Получим фигуру, вершины которой останутся как были, а сторонами станут эти дуги. Ширина такой фигуры постоянна в любом направлении. Так сделаны 5 евро Австрии (девятиугольник), 50 центов Великобритании (семиугольник) и 1 доллар Бермудских островов (треугольник, видимо, в честь Бермудского треугольника).

Обязательно ли, чтобы при этом многоугольник был правильный? Вовсе нет — достаточно, чтобы у него были равны длины всех диагоналей между противоположными вершинами (то есть, чтобы диагонали образовывали звезду с равными сторонами, рис. 1).

Рис. 1 и 2

В описанном способе соседние дуги стыкуются «под углом», и у  монеты остаются вершины, которые можно нащупать.

Сейчас мы  предложим конструкцию, когда углы исчезают, и монета становится совсем гладкой, хоть и не будет кругом.

Возьмём треугольник ABC со сторонами a = BC, b = AC, c = АB и  отложим от вершины А на продолжениях сторон AC и AB отрезки длины a. Получим точки D₁ и D₂, как на рисунке 2.

Проделав аналогичную операцию с вершинами C и B, получим точки D₃, D₄, D₅ и D₆. Тогда АD₁ = AD₂ = a и AD₄ = AD₅ = b + c, а  значит, мы можем провести дуги D₁D₂ и D₄D₅ окружностей с центром в А.

Аналогично проводим дуги D₅D₆ и D₂D₃ с центром в B, а также  D₃D₄ и D₆D₁ с центром в C.

Диаметр получившейся монеты будет D₁D₄ = D₂D₅ = D₃D₆ = a + b + c, а углов у монеты не будет, ведь дуги перпендикулярны продолжениям сторон треугольника.

Мы можем изменить размер монеты, уменьшив или увеличив радиусы всех дуг на одну и ту же длину. Примерно так сделана канадская пятидесятицентовая монета:

На самом деле и у бермудской треугольной монеты углы тоже чуть закруглены.

Художник Артём Костюкевич

elementy.ru