Математика, Культурология

Наталья Рожковская

<Сол Ле Витт

В современном музее искусства наряду с пейзажами, натюрмортами и портретами можно увидеть абстрактные картины из бесформенных пятен и геометрических фигур или загадочные предметы и замысловатые конструкции из очень странных материалов. Порой даже взрослые посетители музея недоумённо пожимают плечами: «Что это? Что художник хотел этим сказать? Какой в этом смысл и почему это называется искусством?». Здесь мы оставим этот сложный вопрос без ответа, но поговорим об одном знаменитом современном художнике. 

Речь идёт об американском художнике-концептуалисте  Соле Ле Витте. Его работы оказали большое влияние на развитие искусства ХХ века. По-видимому, произведения Ле Витта никогда не выставлялись в России, но они широко известны во всем мире.

Для художника-концептуалиста самая важная часть произведения — это идея. Он стремится сделать своё творение интеллектуально интересным зрителю, во многих случаях стараясь избавить произведение от эмоций, но и не навевая при этом скуку.

Иногда, чтобы понять идею произведения, нужно обладать какой-то дополнительной информацией о творчестве художника. Но, как вы увидите ниже, идеи Ле Витта самодостаточны и связаны с математикой. Художник стремился, чтобы внимательный посетитель выставки мог увидеть идею самостоятельно, без дополнительных объяснений.

<Рис. 1. «1 3 5 7 9 11»

Ле Витт любил работать с несложными геометрическими формами — кругами, квадратами, кубами, прямыми линиями. Из этих форм он составлял рисунки, причём частенько он рисовал не на холсте, а прямо на стенах музея. Также он составлял композиции из трёхмерных объектов. Многие рисунки и трёхмерные инсталляции Сола Ле Витта организованы по какому-то правилу, и зрителю предлагается отгадать это правило. Ведь это же очень интересно: подойдя в  музее к какой-то группе геометрических фигур и изучив её внимательно, понять, что, оказывается, эти фигуры расположены здесь не просто так, а по какой-то закономерности.

Например, посмотрите на рис. 1. Он изображает скульптуру, которая называется очень просто: «1 3 5 7 9 11». Догадались ли вы, почему?

А вот другой знаменитый проект Ле Витта (см. рис. 2). Эту роспись выставляли во многих музеях мира. Каждый раз стену раскрашивали по инструкциям художника с учётом особенностей помещения.

Рис. 2. «Настенная роспись № 260» — всевозможные комбинации из линий нескольких типов. Фото: Bava Alcide57, Викимедия

«Настенная роспись № 260» — это целая комната, где стены выкрашены в чёрный цвет и украшены узорами из белых линий (в самом первом варианте линии рисовались мелом). Узоры составлены не случайно, а по определённому правилу. Стена разбита на квадраты, и в каждом квадрате нарисована пара линий.

Каждая линия соединяет либо противоположные стороны квадрата, либо противоположные углы и имеет один из пяти типов: это либо дуга в форме четверти окружности, вогнутая в одну или другую сторону; либо прямая линия; либо пунктирная линия; либо неровная линия случайной формы:

Рис. 3

Вот, например, кусочек росписи с некоторыми из возможных комбинаций (этот кусочек соcтоит из 9  квадратов):

Рис. 4

Полная роспись стены составлена из всех различных пар линий (включая даже вариант, когда пунктирная и сплошная линии в квадрате идут в одном направлении). Посчитайте, сколько всего таких комбинаций существует. Иначе говоря, из скольких квадратиков состоит роспись стены этого проекта? Ответ:

Всего 5 × 4 = 20 видов линий. Из них нужно выбрать неупорядоченную пару, значит (20 × 19)/2 = 190 пар.

Очень многие проекты Сола Ле Витта основаны на точно такой же идее: представлены все возможные комбинации объектов, обладающих какими-то свойствами. В большинстве случаев математическое описание этих проектов не представляет большого труда: так же как и для «Настенной росписи № 260», для них легко посчитать число всех возможных вариантов. Однако есть несколько проектов Ле Витта с отнюдь не очевидным комбинаторным описанием. Один из самых сложных и самых известных проектов Ле Витта называется так: «Вариации неполных открытых кубов». Он состоит из 122 скульптур, таких, как вы видите на рисунках 6–9 (схематически все 122 скульптуры изображены на рис. 5).

Рис. 5

Правило опять очень простое. Каждая скульптура — это куб, у которого убрали несколько рёбер. При этом обязательно соблюдаются следующие условия:

1. Структура должна оставаться трёхмерной. Например, плоский квадрат или просто одно ребро уже не включаются в список.

Рис. 6

2. Структура должна оставаться цельной — состоять из одного куска.

3. Две структуры считаются одинаковыми, если одну можно повернуть в пространстве и получить другую.

Рис. 7

Например, эти две структуры разные, они — симметричные образы друг друга:

Рис. 8

А эти структуры считаются одинаковыми, потому что любую из них можно поворотом перевести в другую:

Рис. 9

Мы не будем предлагать читателям проверить, что получается именно 122  открытых неполных куба, потому что этот вопрос значительно сложнее, чем, например, число комбинаций для «Настенной росписи № 260». Когда Ле Витт начинал работать над этим проектом, он не догадывался, насколько сложно будет убедиться, что все варианты учтены и ни один случай не пропущен. В  конце концов, для проверки своих выкладок он перестал рисовать диаграммы на бумаге и сделал маленькие модели из проволоки. Когда художника спросили, почему он не стал искать в тот момент совета у какого-нибудь математика, Ле Витт ответил: «Во-первых, я думал, что всё будет просто и мне это не понадобится. Во-вторых, я не знал ни одного математика, которого я мог бы спросить. И в-третьих, это был некий вызов — сделать всё самому. Как в игре или головоломке, и я хотел решить её сам».

Ле Витт организовал неполные кубы в группы по числу рёбер, как показано на рис 9. По диаграммам были сделаны сами скульптуры — большие белые алюминиевые каркасы. И с тех пор многие посетители выставок художника, видя в зале эти белые остовы неполных кубов, задаются вопросами: «Не ошибся ли художник? Не пропустил ли он каких-то случаев? И почему это, казалось бы, простое правило даёт такой сложный ответ?».

Оказывается, художник почти не ошибся. Все неполные открытые кубы в этом списке нарисованы правильно, кроме одного. И мы предлагаем вам найти эту небольшую ошибку художника, посмотрев внимательно на кубы 10/4 и 10/5 (рис. 10). Утверждается, что один из этих двух кубов нужно заменить другой картинкой. Можете ли вы объяснить, какой именно и почему? Ответ:

Второй куб можно получить из первого поворотом. Значит, обе картинки представляют один и тот же неполный открытый куб, и это ошибка. Правильно заменить одну из этих картинок отражением.

Рис. 5. Кубы 10/4 и 10/5

Заметим в заключение, что задача Сола Ле Витта относится к тому типу задач, которые требуют рассмотрения многих случаев и часто решаются перебором.

Основная сложность здесь — как организовать алгоритм перебора, чтобы с ним быстро справился человек или хотя бы компьютер.

Этим в какой-то степени и объясняется тот факт, что проект Ле Витта с  неполными открытыми кубами оказался значительно сложнее других — комбинаторика этого проекта не описывается простыми формулами.

К слову, математики, конечно, тоже интересуются подобными задачами — они связаны с сохраняющими расстояние вложениями графов в кубы.

Мы не будем сейчас объяснять, что это такое. Отметим только, что у таких вложений много хороших свойств, которые облегчают их изучение.

Этот раздел комбинаторики имеет приложения в компьютерных технологиях и в  химии.

Художник Наталья Гаврилова

elementy.ru