(Хотел просто процитировать что-нибудь на эту тему, но, перерыв кучу публикаций, так и не нашел описания ТК, понятное каждому умному школьнику. Пришлось сочинять самому.)

Итак...

Категорией G называется объект, состоящий из элементов этой категории A, B, C, D и отображений (морфизмов) f,g,h , связывающие одни ее элементы с другими.

Например f: A->B это какое-то соответствие f, позволяющее по A получть B, называется “морфизм” или “стрелочка” f из A в В,
по сути - это некоторое расширение понятия “функция”, известного из школьной алгебры B = f(A).

Если есть еще один морфизм g: B->C (т. е. правило, позволяющее из В получить С), то можно задать композицию морфизмов h=g*f .

В простейшем случае композиция морфизмов – это их последовательное применение (как в случае функций, если B=f(A) а C=g(B), то C=h(A)=g(f(A)).

Есть единичный морфизм e(A)=A, понятно, что е*f=f . Морфизм, у которого есть обратный, т.е. f*g=g*f=e, называется изоморфизмом. Ну вот, пожалуй и все!

Примеры категорий:

P - действительные числа (объекты) и функции от них (морфизмы),
Q- множества из нескольких n- мерные векторов (объекты) и множества из нескольких функции, отображающие одно такое множеств векторов в другое,
R - геометрические фигуры на плоскости (объекты) и правила их преобразования (например, сжать, повернуть, разрезать – морфизмы на них),
S- химические соединения (объекты) и химические реакции (морфизмы) (строго говоря, здесь объекты - не отдельные химические соединения, а их сочетания из них).
T- Люди (объекты) и степени родства между ними (морфизмы) и.т.д

И наконец, функторы F, G, Н – это уже отображения между категориями, причем “достаточно хорошие”, т.е. каждому объекту первой категории ставится в соответствии объект второй, и последовательность морфизмов в первой – соответствует аналогичной последовательности во второй категории.

Например F: R->Q – это такое отображение (функтор), по которому каждая геометрическая фигура рассматривается как набор векторов (например, координаты точек), а преобразования этих фигур – как действия над этими наборами векторов (например – растянуть в 2 раза). Или G: S->R – это функтор, позволяющий для любого химического вещества и химической реакции получить формулы исходных и конечных продуктов и графическое изображение механизма реакции.

Зачем все это нужно? А вот зачем. Если написана какая-то формула (или теорема) в “языке” одной категории, то, если можно построить функтор в другую, то там будет верно то же самое, “сказанное” уже “словами” из этого контекста, и там уже эту теорему (если мы остаемся в пределах математики) доказывать не нужно.