Я очень долго не мог запомнить значение модальных глаголов.

А тут у меня появились нужные ассоциации...
Корень слов Модуль, модуляция, Модальность иностранного происхождения и одно из его значений на латинообразных языках есть "иная форма".
Соответственно: модальный глагол есть глагол какой-то неосновной формы, формы неглавной, формы вспомогательной.

Часто главной формой глагола называют инфинитив.
По виду корень тоже нерусский, а потому в русской филологии инфинитив принято трактовать. И трактуют обычно так - это неопределённая форма глагола.
Я тут глянул варианты значений слова infinite и первым значением данного слова оказалось - Бог.
А так как слово Бог можно интерпретировать, как "Начальная Причина", то и инфинитив справедливо было бы перевести, как "изначальный глагол".

Короче по теме...
Изначальным глаголом был глагол смысловой и без свойств:
временных, наклонения, вида, переходности, залога и кучи других...
Так вот... модальный глагол относится к группе несмысловых глаголов.
Модальных глагол - это глагол вспомогательный, фоновый.
Но!!! Множество вспомогательных, несмысловых глаголов не исчерпывается только модальными глаголами.
Модальные глаголы лишь часто встречаются и за это им ярлык брэндовый присвоили филологи.

И самое главное: вспомогательные, несмысловые, фоновые глаголы нельзя запоминать так же, как "Глагол изначальный"
Это смысловые глаголы можно запоминать пассивно: через карточки и через чтение.
Вспомогательные глаголы - это высокий уровень абстракции, который мозг вне практики не схватывает, не понимает, не запоминает.

Вспомогательные глаголы можно надеяться запомнить только активно.
Необходимо говорить или писать на Эсперанто, чтобы глаголы вроде: должен, умеет, мочь и тому подобных - усвоились человеком на уровне автоматизма!