Древний Египет

В орнаменте Египта отразился трансформированный окружающий мир, наделенный определенными религиозными представлениями и символическими значениями. В декоре часто использовался цветок лотоса или лепестки лотоса — атрибут богини Исиды, символ божественной производящей силы природы, возрождающейся жизни, высокой нравственной чистоты, целомудрия, душевного и физического здоровья, а в заупокойном культе он считался магическим средством оживления усопших. Этот цветок олицетворяли с солнцем, а его лепестки — с солнечными лучами. Художники Древнего Египта соединили изображения с иероглифической системой письма в форму линейного орнамента. По всей вероятности, линейное расположение орнаментальных элементов представляло египетскую идею бесконечности жизни. Декорирование предметов имело и знаковый смысл. Орнамент читался как буквенный текст, потому что он был основан на использовании общепринятых символов. Например: египетский крест анх прочитывался жизнь, изображение коленопреклоненной фигурки хех — вечность и др. Использовали египтяне и геометрический орнамент: прямые, ломаные, волнообразные линии, шашечный узор, сетки, точки и др. В целом же египетский декор обладает строгой, утонченной сдержанностью.

Арабы

В истории средневекового орнамента большая роль отводится искусству арабов, а затем и других национальностей, исповедующих ислам.

Одна из особенностей арабского декора — «ковровая» орнаментация, в которой узор покрывает всю поверхность предмета или сооружения по принципу «horreur vacui» (боязнь пустоты).

В исламском декоре почти всегда присутствуют краткие надписи — пословицы, благопожелательные изречения из ислама, афоризмы и т. д. Из растений чаще всего встречаются цветы тюльпанов, гвоздик, гиацинтов, амариллисов, побеги вьющихся растений и др., изображенные в естественном или стилизованном виде. Необычайно популярными были розы и плоды граната, они символизировали райскую жизнь.

Русь

Геометрическая резьба по дереву - один из самых древних и распространенных видов деревянной орнаментальной резьбы. Выполняется в виде выемок двух-, трех-, четырехгранной формы, которые в сочетании дают большое число разнообразных композиций. Орнаментика геометрической резьбы восходит к древним языческим символам.

Например, один из наиболее распространенных элементов розетка был связан с культом солнца. Розетки и сияния присутствуют во всех композициях, выполненных в технике трехгранно-выемчатой резьбы. Геометрическая резьба использовалась в домовом декоре Русского Севера и при украшении прялок и различных предметов домашней утвари вальков, рубелей, трепал.
Геометрический узор встречается на предметах из новгородских раскопок 10-12 веков.

Африка, Америка

Декоративные изобразительные элементы древнейшего творчества сохранились в традиционном искусстве народов Африки, в орнаментах южно-американских индейцев. В их орнаментальных и декоративных мотивах параллельно сосуществуют реальные и геометрические условно стилизованные формы. Но и реальную форму художник обычно «геометрически» стилизует. Часто стилизация и обобщение фигур животных и людей приводит к полной утрате их внешней узнаваемости и связи с исходным образом. Они воспринимаются просто как геометрический узор. Возникнув на заре человечества, орнамент эмоционально и эстетически обогащает многообразие форм и образную структуру каменной и деревянной резьбы, тканого узора, ювелирных изделий, книжной миниатюры.

Бордюр – это вид орнамента, периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте.

На практике бордюры встречаются в разных видах. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика.

Примеры бордюров

Фигура, обладающая симметрией переноса: верхняя фигура имеет бесконечное множество вертикальных осей симметрии.

Бордюр, накладывающийся на себя переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси

Математические принципы построения бордюров

Для создания бордюров - линейных орнаментов используются следующие преобразования:
а) параллельный перенос;
б) зеркальная симметрия с вертикальной осью;
в) зеркальная симметрия с горизонтальной осью;
г) поворотная (центральная симметрия).

[513x367]

На рисунках приведены 14 бордюров, разбитых на семь пар.

В каждую пару входят бордюры, одинаковые по типу симметрии. Всего существует семь типов симметрии бордюров.

[520x503]

а) Бордюры обладают переносной симметрией вдоль своей оси (вдоль оси переноса). В простейшем случае симметрия бордюра полностью исчерпывается переносной симметрией.

б) Бордюры обладают наряду с переносной также зеркальной симметрией: они зеркально симметричны относительно прямой, делящей ленту бордюра пополам в горизонтальном направлении. Здесь ось переноса является также осью симметрии.

в) У бордюров ось переноса является осью скользящего отражения.

г) Бордюры имеют вертикальные оси симметрии.

Эти оси изображены на рисунке в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси переноса.

д) Бордюры обладают переносной симметрией и поворотной симметрией(центральной).

ж) Бордюры, основанные на комбинировании зеркальных отражений. Такие бордюры имеют наряду с вертикальной также горизонтальные оси симметрии.

Рисунок бордюра получается, когда мы начинаем геометрически перемещать его элемент. Любой бордюр может быть совмещен сам с собой параллельным переносом. При рисовании бордюров используются, кроме параллельного переноса, симметрия относительно прямой и центральная симметрия (симметрия относительно точки).

Для построения линейных орнаментов (бордюров) нужно начать с построения его ячейки: также придумывают узор (трафаретку), потом с помощью параллельного переноса переносят узор на длину вектора ( направленного отрезка) влево или вправо во столько раз, сколько нужно.

Из рисунка видно, что из квадрата можно придумать бесконечно много ячеек линейных орнаментов (трафаретов) и выделить их цветом.

[289x180] 

Попробуем, используя уже известные нам законы симметрии, самостоятельно создать орнаменты.

[312x168]

Построение бордюров

За трафарет возьмем изображение попугая, нарисованное с помощью программы AutoCad.

Как видим, рисунок симметричен относительно своей оси. Посмотрим сколько типов бордюров удастся создать с помощью такого трафарета.

1) Параллельный перенос или переносная симметрия. Будем сдвигать наш трафарет вправо (или влево) на расстояние равное ширине трафарета. После обработки полученного бордюра в программе PhotoShop получим следующий рисунок:

2) Зеркальная симметрия относительно горизонтальной оси + параллельный перенос:

3) Центральная симметрия – поворот трафарета вокруг своей оси + параллельный перенос:

В данном случае мы могли использовать только 2 симметрии - центральную (поворот на 180 градусов вокруг своей оси) и горизонтальную (зеркальное отражение вокруг горизонтальной оси ). При использовании зеркальной симметрии относительно вертикальной оси мы получим такой же борбюр, как при параллельном переносе.

Посмотрим, сколько бордюров удастся придумать, если сделать трафарет нессиметричным своей оси. Для этого повернем нашего попугая на 45 градусов.

Как видим, у нас появилось еще несколько видов бордюров за счет использования зеркальной симметрии вокруг вертикальной оси.

[549x186]

Построение плоских орнаментов

Работы Мориса Эшера вдохновили меня на попытку создать сетчатые орнаменты, так называемые мозаики (замощения). Вся сложность состояла в том, чтобы замостить всю плоскость без промежутков.

Математическая составляющая в работах Эшера

Рассматривая математические принципы построения орнаментов нельзя не упомянуть работы известного художника Мориса Корнелиуса Эшера [207x208].

На первый взгляд, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.