Решим тригонометрическое уравнение
sin²x + cos²(2·x) + sin²(3·x) = ³/₂
Воспользуемся сперва формулами понижения степени.
½(1 − cos(2·x)) + ½(1 + cos(4·x)) +
+ ½(1 − cos(6·x)) = ³/₂
Домножим теперь обе части уравнения на 2 и приведём подобные слагаемые:
сos(6·x) + cos(2·x) − cos(4·x) = 0
Для первых двух слагаемых применим формулу суммы косинусов:
2·cos(4·x)·cos(2·x) − cos(4·x) = 0
Разложим левую часть уравнения на множители:
cos(4·x)·(cos(2·x) − ½) = 0
Приравнивая каждый из множителей к нулю, получим и решим два уравнения:
-
cos(4·x) = 0
4·x = π/₂ + π·k = (2·k + 1)·π/₂
x = (2·k + 1)·π/₈; k ∈ ℤ
-
cos(2·x) = ½
2·x = ±π/₃ + 2·π·n = (6·n ± 1)·π/₃
x = (6·n ± 1)·π/₆; n ∈ ℤ
Объединим найденные решения.
Ответ: x = {(2·k + 1)·π/₈} ∪ {(6·n ± 1)·π/₆}; k, n ∈ ℤ
22266913.32831289.1267818117.101560d87f9a7a1556047f7619544801Все мы жаждем любви и понимания. Но для одного из литературных героев любовь — это и служба, и болезнь, и обязанность, но не чувство!
Кто же может быть таким чёрствым в душе?
Узнай все ответы здесь!
Античным философам и поэтам древности этот герой предпочитал сочинения философоф-экономистов, в том числе Адама Смита:
Бранил Гомера, Феокрита;
Зато читал Адама Смита
И был глубокой эконом…
Хочешь узнать кто это? Зайди и спроси!
Слушаете классику? А знаменитый балет С. С. Прокофьева посвящён именно этим влюблённым.
Найди ответ здесь!
Решим систему тригонометрических уравнений
{x − y = π/3
{cos x + cos y = ³/₂
Применим подстановку
{(x + y)/2 = α
{(x − y)/2 = π/6
Тогда
{x = α + π/6
{y = α − π/6
Получим:
cos(α + π/6) + cos(α − π/6) = ³/₂
Воспользуемся теперь формулой суммы косинусов:
cos(α + β) + cos(α + β) = 2·cos α·cos β
Тогда
cos(α + π/6) + cos(α − π/6) = 2·cos(π/6)·cos α =
= 2·√3/2·cos α = √3·cos α = ³/₂
cos α = √3/2
α = ±π/6 + 2·π·n
{x = α + π/6 = π/6 ± π/6 + 2·π·n
{y = α − π/6 = π/6 ± −π/6 + 2·π·n
{x = (1 ± 1)·π/6 + 2·π·n
{y = −(1 ± 1)·π/6 + 2·π·n
Решения системы
|
{x₁ = 2·π·n {y₁ = −π/3 + 2·π·n |
{x₂ = π/3 + 2·π·n {y₂ = 2·π·n |
n ∈ ℤ
За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.
Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин
Решим квадратное тригонометрическое неравенство:
sin²(ˣ/₂) < ¾
Первый способ
Извлечём квадратный корень из левой и правой частей неравенства.
|sin(ˣ/₂)| < ½·√3
½·√3 < sin(ˣ/₂) < ½·√3
−π/3 + π·n < ˣ/₂ < π/3 + π·n
−2·π/3 + 2·π·n < x < 2·π/3 + 2·π·n; n ∈ ℤ
Второй способ
Воспользуемся формулой понижения степени.
(1 − cos x)/2 < ¾
1 − cos x < ³/₂
cos x > 1 − ³/₂
cos x > ⁻½
−2·π/3 + 2·π·n < x < 2·π/3 + 2·π·n; n ∈ ℤ
За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.
Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин
Найти частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
y″ − 4·y′ + 4·y = e³ˣ y(0) = 0; y′(0) = 1
Решение дифференциального уравнения ищем в виде: y = y₀ + y₁, где
y₀ — общее решение однородного уравнения,
y₁ — одно из частных решений неоднородного уравнения.
Характеристический многочлен k² − 4·k + 4 = (k − 2)² = 0 имеет действительный двухкратный корень k₁ = k₂ = 2
Общее решение однородного уравнения y₀ = (C₁·x + C₂)·e²ˣ.
C₁, C₂ — постоянные интегрирования.
Одно из частных решений неоднородного уравнения найдём методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.
Пусть y₁ = A·e³ˣ. Тогда y₁′ = 3·A·e³ˣ = 3·y₁, y₁″ = 3²·y₁ = 9·y₁.
y₁″ − 4·y₁′ + 4·y₁ = (9 − 3·3 + 4)·y₁ = y₁ = A·e³ˣ, откуда A = 1.
Тогда y₁ = e³ˣ, y = y₀ + y₁ = (C₁·x + C₂)·e²ˣ + e³ˣ
Постоянные интегрирования C₁, C₂ найдём из начальных условий.
При x = 0 y = C₂ + 1 = 0, откуда C₂ = −1.
Тогда y = (C₁·x − 1)·e²ˣ + e³ˣ
Дифференцируем: y′ = (2·C₁·x + C₁ − 2)·e²ˣ + 3·e³ˣ
При x = 0 y′ = C₁ − 2 + 3 = C₁ + 1 = 1, откуда C₁ = 0
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:
y = e³ˣ − e²ˣ
Если Вам нужно грамотно и без посредников выполнить контрольную или курсовую работу — обращайтесь. Список предметов и номер телефона указаны у на моём сайте http://integral-ua.narod.ru/
Найти предел
| lim | (1 − sin(3·x))1/(1 − cos(2·x)) |
| x→0 |
При x→0 получаем неопределённость вида 1∞.
Приме́ним к знаменателю в показателе степени формулу косинуса двойного аргумента.
cos(2·x) = 1 − 2·sin²x
1 − cos(2·x) = 2·sin²x
Тогда исходный предел перепишется в виде:
Предел в первых квадратных скобках сводится ко второму замечательному пределу:
| lim | (1 − sin(3·x))1/sin(3·x) = | lim | (1 − sin t)1/t = e⁻¹ = 1/e |
| x→0 | t=sin(3·x)→0 |
Предел во вторых квадратных скобках можно частично сведём к первому замечательному пределу.
| lim | sin(3·x)/(2·sin²x) = | lim | 3·x²·sin(3·x)/(2·x²·sin²x) = ³/₂· | lim | sin(3·x)/(3·x)× |
| x→0 | x→0 | x→0 |
| ×lim | (x/sin x)²· | lim | ¹/ₓ = ³/₂·1·1· | lim | ¹/ₓ | = ³/₂·lim | ¹/ₓ |
| x→0 | x→0 | x→0 | x→0 |
Из исходного предела получили предел:
| A = | lim | e−3/(2·x) = | lim | q−1/x |
| x→0 | x→0 |
где q = e3/2 > 1.
Предела в точке x = 0 не существует. Найдём левосторонний и правосторонний пределы.
|
|