Вспомним, как два крестьянина в гоголевских «Мертвых душах» праздно обсуждали вопрос: «Доедет ли то колесо до Казани?» Ответы «доедет» и «не доедет» могут быть одинаково истинными, так как в первом случае можно иметь в виду, что, если колесо поломается окончательно, его довезут до Казани на той же самой телеге, заменив его новым, а в другом случае — подразумевать только его рабочее состояние. Все дело в том, что противоположные мысли здесь фиксируют один и тот же предмет, но в разных отношениях. Как говорит русская пословица об одном и том же человеке: «Молодец среди овец, и овца против молодца», явно выражая то, что один и тот же предмет, если рассматривать его в разных отношениях, дает основание для противоположных, но одинаково истинных суждений. Говорят, один мудрец, когда его прохожий спросил: «Долго ли идти до города?», ответил кратко: «Иди», желая определить, увидеть его «ходкость» (скорость ходьбы) и только затем дать ответ, как долго предстоит ему идти. «Долго идти до города» и «Недолго идти до города» одинаково могут быть истинными высказываниями мудреца, но по отношению к разным пешеходам. Правда, само по себе слово «долго» очень относительно и зависит от того, какой эталон, какую меру длительности выбрать: час, два или больше.

Про счастье

Фундаментальным принципом формальной логики является принцип абстрактного тождества: А = А. Отсюда вытекает требование: каждая мысль должна быть строго постоянной по своему смыслу и значению, т. е. тождественной самой себе. Формальная логика, таким образом, отвлекается от рассмотрения развития содержания наших мыслей, формулируя лишь правила того, как извлекать следствия из уже установившихся, сложившихся мыслей. Такой подход к изучению мышления, конечно, имеет свое объективное основание, так как мир, отражаемый в нашем сознании, заключает в себе момент относительного покоя, или постоянства.
Мы мыслим вот здесь

1. Выписываются те предположения, при которых делаются выводы (например, что субъективная привлекательность суммы денегпрямо пропорциональна количеству денег).
2. Понятия превращены в термины, так что не может возникнуть никаких двусмысленностей при истолковании (например, интеллектуальность понимается как способность решать задачи из заданного тестового набора).
3. Можно проверить, действительно ли сделанный вывод строго следует из принятой модели или же автор выдвигает лишь правдоподобную гипотезу.
4. Резко облегчается переход к структурам, приспособленным для интерпретации на компьютере.

Соответственно, недостатки точной науки следующие:
1. Помимо выписанных предположений, очень многие, и зачастую самые критичные для рассматриваемой ситуации, прячутся в общий применяемый аппарат. Эти неявные предположения, как правило, не осознают даже специалисты. Например, когда в XX веке наконец-то занялись вопросом, что же можно измерять действительными числами, выросла целая теория измерений, пользуясь которой можно, в частности, практически всегда отвергнуть предположение, сделанное в соответствующем пункте достоинств.
2. Поскольку термин — монумент понятия, он полностью теряет гибкость и зачастую в конкретной ситуации он начинает означать вовсе не то, что имелось в виду первоначально. Например, способность решать задачи из тестового набора может не иметь никакого отношения к способности гибкого реагирования на изменяющуюся реальную ситуацию.
3. Поскольку строгое доказательство может содержать много шагови вовлекать многие утверждения, которые, как стыдливо говорят ученые,«выполнены в реальной ситуации лишь приближенно», в ходе такого обоснования соответствие реальности может потеряться, так что строго доказанный результат требует содержательной перепроверки при применениях.
4. Поскольку теоретические структуры для тонких моделей слишком сложны, переход к компьютерному моделированию стимулирует применение грубых моделей, которые (в частности в физике) начали подменять собою реальность.
Эти списки не исчерпывающие, но каждое достоинство неуклонно сопровождается соответствующим недостатком.

Рефлексивные возможности формализованной логики сделали ее мощным инструментом для решения некоторых неформальных задач. В частности, при приложениях математики все время приходится подбирать математическую модель для рассматриваемого явления. Подбор модели начинается с подбора соответствующей теории, определяющей базовые структуры данных и операции в модели.
Например, если мы в качестве базовой теории возьмем математический анализ, то у нас появятся действительные числа вместе со всеми операциями; если возьмем графы, у нас появятся пути, циклы, топологические преобразования графов и т. п. Далее в выбранной теории дается представление исследуемых понятий. Например, принимается решениесчитать плотность материала действительным числом, а не функцией от точки пространства, считать зависимость одной характеристики от другой непрерывной, либо просто записываются графы в случае более привычного для нынешней информатики способа описания. Пишутся уравнения, связывающие характеристики элементов, либо другие соотношения между представлениями понятий, и на этом построение модели завершается, чтобы сразу же начаться снова, потому что, как правило, модель оказывается неадекватной. Так что подбор формализации столь же важен для задачи, как выбор супруга для человека, и часто делается столь же безответственно, что превращает работу в мазохистскоесамоистязание либо в шарлатанство высшего класса, прикрытое весьма умными терминами, но начисто забывшее о реальной цели, для которой все делалось. Именно здесь очень полезен логический анализ, позволяющий быстро вскрывать глубинные корни недостатков в формализации и выявлять неадекватность патентованных и широко рекламируемых средств.

Можно считать, что отношение к логике явилось одним из межевых камней между западной и восточной культурами. Аверроэс (Ибн-Рушд,мавританский ученый XII века, традиционные даты жизни 1126–1198) поставил вопрос:

« Подчиняется ли Бог законам логики?»

Христиане разных толков, иудеи и мусульмане восприняли этот вопрос серьезно и ответили на него по-разному. Католики решили, что, конечно же, подчиняется, поскольку Он — благая сила и соблюдает те законы, которые Сам установил. Мусульмане столь же ясно и недвусмысленно заявили, что требовать, чтобы Аллах чему-то подчинялся,— оскорбление Аллаха. Православные и иудеи заняли промежуточную позицию.
Заметим, что уже сама по себе постановка такого вопроса подчеркивает исключительную роль логики. Скажем, вопрос:

“Подчиняется ли Бог законам физики?”

очевидно глуп. Тем не менее многие физики и люди, привыкшие считать физику основой научного взгляда на мир, втайне чувствуют себя уязвленными некорректностьюпредыдущего вопроса и изо всей силы стремятся создать физическую теорию творения (см., например, как глубокое исследование с данной целью и работу, открыто высвечивающую цели данного направления).

В реальном случае лучше взять прямоугольник с соотношением сторон 1:2, который мы также будем делать с красивым узором. Он будет несколько похож на улитку, что видимо является природной красотой. Этот прямоугольник также разделим на четыре части, и также узор будет сходиться в одном угловом кубике. И на практике я думаю не надо делить узор больше чем два-три раза, так как дальше его видно не будет, а кривая, проведенная в маленький кубик с завитком будет вполне готовой к промышленному использованию, умело влияющему на ум и разум, и даже на подсознание народа.
Есть у меня старая рубашка, как ни странно розового цвета, считающимся сейчас цветом гламура. На ней как раз такие рожки-улитки. На первом курсе университета я даже приходил в ней на учебу. И долго думал, почему народ без ума от моего прикида? Розовый цвет одно, а суперузор, выполненный где-то за границей – другое.
Впредь я продолжу поиск прочих «красивых» фигурок с целью выяснить их математическую формулу, прогрессию, или ряд. Ну пока для прикола, а потом применим что ли для скрытой рекламы и какого-либо воздействия на подсознание. Будем сами себе подопытными.

Отвлекусь немного от логики и поразмышляю насчет красоты. Что такое красиво? Как математикой можно описать красоту? Ночами думал, вот недавно увидел нерусский документальный фильм, который явно позитивно был настроен, ну это пофиг, все америкосские фильмы какие-то не такие. Вот там за главный пример красоты был взят рожок мороженого. Честно говоря, не знаю, есть ли в каком-то городе России такие рожки с верхом в виде, как бы сказать, ротора турбины, который когда вращается, у него скорость нагнетания воздуха в середине и на краях одинакова, то есть с краю «лопасти» уже не перпендикулярны, нежели в центре. Кстати, возможно выведенная по этим словам формула и станет одной из формул красоты или будет следствием следующего абзаца.
В том же фильме просчитали, что красивое в научном смысле завихрение должно быть убывающим с каждой новой клеткой в завихрении. Что я тут сморозил? Представляем. Берем квадрат. Делим на четыре части, один кубик из четырех делим ещё на четыре. И так далее. Это действие можно и запрограммировать, выбрав критерием остановки программы определенное число итерации или длину стороны исходного (перед итерацией квадратика). Вот. В конце проводим линию через эти квадраты к концу. В итоге получаем такую интересную линию, с которой можно теперь делать что угодно, линия по своему свойству будет красива.

История развития математических концепций является одним из примеров творческого развития. В ней выполнены многие общие закономерности такого развития. Стоит напомнить некоторые из них, которые необходимо знать любому, решающему сложные нестандартные практические задачи:

1. Ни одно принципиально новое открытие не может быть обосновано его творцами строго. Более того, предложенные ими обоснования, как правило, содержат серьезные ошибки и впоследствии опровергаются.
2. Тот, кто боится делать предположения, противоречащие общепринятому и даже “здравому смыслу”, не может открыть ничего нового.

Решение т. н. сложных нестандартных математических задач принципиально отличается. Здесь основным интересом является спортивный: решить поставленную авторитетным человеком задачу раньше других и получить славу и награду. Естественно,как и в спорте, имеются судейские коллегии, проверяющие чистоту достижения, т. е. прежде всего его соответствие принятым правилам и традициям.

Если бы роль множеств исчерпывалась тем, что они превращают логические операции в математические, это понятие не играло бы столь важную роль в современной математике. Понятия переводят в объекты затем, чтобы использовать их для получения новых объектов. Таким образом, множества служат материалом для построения других множеств.

Первая из операций над множествами, выходящая за рамки булевой алгебры, соединяет понятие множества с понятием кортежа, столь же важным для приложений и в обыденной жизни, и в программировании.В программировании и искусственном интеллекте кортежи часто путают с множествами.
Определение. Кортеж — конечная последовательность объектов, называемых его членами. Кортеж с членами a1, ..., an, расположенными в данном порядке, обозначается [a1, ..., an]. В математической логике принято нумеровать члены кортежа, начиная с нулевого, а в большинстве приложений — начиная с первого.

Таким образом, в отличие от множеств, кортеж может содержать и повторяющиеся члены, здесь важны не только сами элементы, но и порядок, в котором они расположены.

Если Y — булева комбинация {X1,...,Xn}, S — составляющая этой системы, то S либо подмножество Y, либо не пересекается с Y. Это вытекает из того, что значение характеристического свойства Y полностью определяется значениями всех c 2Xi. И наконец, составляющая независимой системы является подмножеством Y тогда и только тогда, когда соответствующее значение в таблице истинности формулы, определяющей Y, есть 1. Значит, в независимой системе любая булева комбинация однозначно разлагается на составляющие (т. е. представляется как объединение составляющих) и это разложение сохраняется и для других систем множеств (конечно, для зависимых систем могут появиться и другие разложения). Поэтому если в независимой системе две булевы комбинации имеют одни и те же составляющие, они будут иметь одинаковые значения и в любой другой системе.

Итак, булево равенство достаточно проверить на одной, но хорошо подобранной системе множеств. Следовательно, правильно нарисованная диаграмма Венна полностью обосновывает тождество.

Диаграммы Венна подводят нас к следующему фундаментальномувопросу. В них нет предложений, нет правил вывода, не видно умозаключений. Так что же такое доказательство с математической точки зрения? Ответм потом!!

Объединение, пересечение и дополнение обычно называются булевыми операциями, составленные из множеств с их помощью выражения — булевыми выражениями, значение такого выражения — булевой комбинацией входящих в него множеств, а равенства двух булевых выражений — булевыми тождествами (например, X .X = X). Черезбулевы операции определяются еще две полезные операции над множествами — разность X \Y =(X ..Y) и симметрическая разность
X4Y =(X \Y).(Y \X). Булевы тождества позволяют продемонстрировать достаточно уникальный пример превращения иллюстрацийв строгие доказательства. Он интересен еще и как пример представления данных: таблица истинности превращается в совершенно непохожую внешне, но изоморфную ей структуру.

В XVIII веке Л. Эйлер использовал для иллюстрации взаимосвязеймежду понятиями чертежи, которые были названы позднее «круги Эйлера»(точнее, как мы и будем называть их,“диаграммы Эйлера”). Например, соотношение между понятиями “протестант, католик, христианин, европеец” показывает диаграмма Эйлера.

Здесь не имеет значения относительный размер кругов либо другихзамкнутых областей, но лишь их взаимное расположение. Безусловно,такие диаграммы могут играть в логике лишь ту же роль, что чертежи в геометрии: они иллюстрируют, помогают представить и доказать,но сами ничего не доказывают. Учитывая, что по сути своей логика неявляется математической наукой и поэтому имеет дело с понятиями.

Взялся за гуж — не говори, что не дюж.
Чтобы не быть собакой, достаточно быть кошкой.
Чтобы не быть человеком, необходимо быть свиньей.
Некоторые кошки поют по ночам.
Все компакты совершенно нормальны.
Некоторые мюмзики не куздры.
Три точки A, B, C лежат на одной окружности.
Три точки A, B, C не лежат на одной прямой.
Числа a и bимеют одинаковый знак.
Одно из чисел a, b равно 0.
Числа a и bимеют разные знаки.
Ромео и Джульетта любят друг друга.
Гамлет и Клавдий ненавидят друг друга.
Мери любила Печорина, но не взаимно.
Чтобы прийти на свадьбу, необходимо приглашение жениха или невесты.
Некоторые лентяи не оптимисты, но жизнелюбы.
Все замки отпираются и запираются.
Никто из нашего класса не поехал в Москву и Париж.
Все мои одноклассники поехали в Москву и Париж.
Некоторые числа четные.
Некоторые лекции невозможно понять.
Всякому в Москве не перекланяешься.

Относительно девиц, бывших на некоем бале, известны следующие 14 утверждений:
1. Каждая из девиц была или благовоспитанна, или весела, или молода, или красива;
2. все нетанцующие девицы были некрасивы, каждая из танцующих была или молода, или красива, или благовоспитанна;
3. когда пожилые девицы образовали отдельный кружок, о каждой из оставшихся можно было сказать, что она или красива, или весела, или благовоспитанна;
4. если выделить всех девиц немолодых и некрасивых, то останутся лишь благовоспитанные и веселые девицы;
5. если же выделить всех девиц невеселых, то останутся благовоспитанные, молодые и красивые;
6. таких девиц, которые, будучи молоды и веселы, не обладали бы вдобавок ни красотой, ни благовоспитанностью, на балу не было;
7. между молодыми девицами не было таких, которые, обладая красотой и веселостью, были бы не благовоспитанны;
8. каждая благовоспитанная девица была или молода, или весела, или красива;
9. все девицы, соединявшие красоту с благовоспитанностью,были одни веселы, другие молоды;
10. каждой невеселой девице недоставало или молодости, или красоты, или благовоспитанности;
11. все те веселые девицы, которые, не отличаясь молодостью, обладали благовоспитанностью, были красивы;
12. немолодые девицы были одни не благовоспитанны, другие не веселы, третьи не красивы;
13. между некрасивыми девицами не было таких, которые с благовоспитанностью соединяли бы молодость и веселость;
14. и, наконец, когда ехали все неблаговоспитанные, не веселые, не молодые и не красивые девицы, на балу девиц более не осталось.

Пусть на плоскости имеется точечный прожектор, освещающий сектор внутри угла < 180. Пусть заданы n непересекающихся отрезков (которые могут смыкаться концами). Докажем, что тогда выполнено одно и только одно из трех:
1. Прожектор не освещает ни одной точки ни одного отрезка.
2. Прожектор освещает конец хотя бы одного из отрезков
3. Имеется отрезок ai (часть которого, пересекающаяся с сектором, полностью освещена), полностью затеняющий все остальные, пересекающиеся с сектором освещения.
Как всегда при решении задачи, заданной в физических терминах, математик должен прежде всего подумать о том, как перевести все понятия на математический язык. Итак, у нас есть точка O, в которой расположен прожектор. Первое предположение, неявно спрятанное в физической задаче, следующее: ни один из отрезков не проходит через точку

Далее, что означает, что точка A освещена либо затенена?
Точка Aосвещена, если отрезок OA находится внутри освещенного сектора и не пересекается ни с одним из отрезков ai, кроме, возможно, самой точки A.

Теория категорий стимулирует формулировку свойств математических объектов через их отображения, сохраняющие структуру. Само понятие отображения в теории категорий обобщается и называется морфизмом. Главным элементом языка теории категорий являются коммутативные диаграммы, в которых морфизмы, получающиеся на любых двух путях из одного объекта в другой, совпадают. Пунктирная стрелка в коммутативной диаграмме означает морфизм, однозначно восстанавливаемый по этой диаграмме. Все приведенные выше соглашения о диаграммах не абсолютны, но их нарушение оговаривается явно, так что читайте тексты внимательнее! Сами коммутативные диаграммы могут быть сделаны объектами новых категорий, в частности, так определяются категории морфизмов. Через такие конструкции теория категорий дает возможность задать весьма абстрактные объектывысших порядков. Теория категорий является, в частности, языком, на котором выражено болйьшинство наиболее тонких и важных результатов современной теории типов данных.

Разборка электроники

Доказательство эквивалентности выводимости и логической истинности менее прямое, чем для семантических таблиц. Мы не будем стараться строить вывод всякой истинной формулы, а опровергающую модель для невыводимой формулы построим столь неэффективно, что воспользоваться данной теоретической конструкцией для практических целей практически невозможно. Это связано с “асимметричностью” естественного вывода: онхорошкаксредстводоказательства, но то, что вывод не удалось завершить, не всегда дает информацию для опровержения.

Утверждение о полноте состоит из двух частей. Нужно доказать корректность, т. е. утверждение о том, что каждая теорема является семантическим следствием теории, и собственно полноту, о том, что каждое семантическое следствие может быть выведено. Первая часть доказывается достаточно тривиальной индукцией, но с достаточно нетривиальной формулировкой инварианта индукции и входящих в него понятий.

Теорема 11.1. (Теорема корректности) Если A выводима в Th, то Aявляется семантическим следствием Th.Доказательство. Сформулируемвспомогательноепонятие незаконченного вывода. Незаконченный вывод — граф, удовлетворяющий условиям, наложенным на вывод, кроме того, что каждый подвывод должен иметь результат и использоваться в дальнейшем. Естественно, подвыводы, не имеющие результатов, использованы быть не могут. Незаконченный вывод может рассматриваться как промежуточная стадия построения вывода методом “снизу вверх”, от посылок и аксиом к результатам и теореме. Многие преобразования выводов являются общими длязавершенных и незавершенных выводов. В данном доказательстве нампотребуется переименование произвольных переменных. То, что произвольные переменные вложенных подвыводов могут совпадать, гарантирует возможность переносить куски из вывода в вывод без изменений.

Математики заметили, что логика могла бы стать математической наукой, но таковой еще не являлась. Предвестники нового этапа появились в работах Лейбница, когда традиционная задача математики: “заменить вычисления рассуждениями” была инвертирована и превратилась в задачу математической логики: “заменить рассуждения вычислениями”. Аппарат для этого начал возникать в трудах логиков XIX века, прежде всего английской школы — де Моргана, Буля, и американского логика Пирса... А развитие по-настоящему пошло лишь в XX веке, когда математика доросла до того, чтобы применять свои методы для анализа своей собственнойструктуры, и, таким образом, первой из наук перешла со стадии экстенсивного роста на стадию рефлексии9. Появилась новая наука — математическая логика, унаследовавшая задачи философской логики, ноиспользовавшая для их решения математический аппарат. Как сформулировал А. А. Марков: «Математическаялогика — логикапопредмету,математика по методу».
Конечно же, хотя замена средств и усилила мощь методов, она привела и к ограничениям. Если традиционная логика прекрасно приспособлена для работы с не до конца уточненными понятиями, математическая может иметь дело лишь с терминами, укладывающимися в рамки (хотя и неизмеримо расширенного прежде всего ее собственными усилиями) математического языка. Это уже точная наука со всеми ее достоинствами и недостатками точной науки.
Естествоиспытатели, евреи и математики, конечно же, не члены деления в смысле традиционной логики. Один и тот же человек может входить во все эти группы, и более того, иногда вхождение в пересечение групп помогало первопроходцам. Например,германский еврей-математик Г. Кантор создал теорию множеств, вдохновленный, взначительной степени, проблемой истолкования многих положений Талмуда и Каббалы, касающихся таких бесконечных сущностей, как Бог и Высшие Силы.

В современной математике понятие множества является одним из центральных и окутанных наибольшим числом предрассудков. Множестваявляются прежде всего удобным средством превращать высказывания вобъекты и, соответственно, операции над высказываниями в функции. При этом классическая логика переходит в булеву алгебру. Лучше всего охарактеризовать множество как единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством. Но это предложение, конечно же, не может считаться определением.

Множество всех объектов, обладающих свойством A(x), обозначается {x |A(x)}. Если Y = {x |A(x)}, то A(x)называется характеристическим свойством множества Y, а Y — сверткой предиката A. Поопределению Y, выполнена следующая эквивалентность:

8y(y 2Y ,A(y)).

Два множества считаются равными, если их характеристические свойства эквивалентны. (Часто это выражают словами: "Множества равны". Оставайтесь с нами.

Математику неприлично заниматься тем, что не допускает точной формулировки, и самому формулировать утверждения, которые могут быть поняты двояко. Ему неприлично выдавать правдоподобное утверждение за доказанное, он имеет право утверждать лишь то, для чего он имеет полное доказательство. Ему нельзя утаивать открытое им доказательство, онобязан предоставить его на максимально широкое обсуждение для проверки всеми заинтересованными лицами. Есликто-тонашел ошибку в его доказательстве, математик не имеет права настаивать на своем, а обязан поблагодарить за помощь и публично объявить о своей ошибке, пересмотрев доказательство либо формулировку теоремы. Если кто-то нашел опровергающий пример для доказанного им утверждения, математик даже не имеет права требовать, чтобы нашли еще и ошибку в его доказательстве, текст, объявленный доказательством, уже никого не интересует.
Далее, если каноны ремесла не требуют иного обоснования, кроме традиции, имеют тенденцию превращаться в обязательные стандарты, нарушение которых карается, каноны науки должны быть обоснованы и
в частности, что многие работы по хронологии ссылаются в конечном итоге на одну и ту же работу Жана Скалигера, где была принята масса произвольных допущений.Первым обратил внимание на недостоверность традиционной хронологии Исаак Ньютон, за что его сразу же обвинили в том, что он стал к старости выживать из ума.

Наука отличается от ремесла соотношением формального знания, зафиксированного в письменных документах, и неформального знания,передаваемого лишь непосредственно от учителя к ученику. Еслиосновные знания ремесленника являются часто не выраженными в словах
(невербализованными) умениями, навыками, то наука требует фиксации полученных результатов в словесной, вербальной форме. Конечно, знание, передаваемое лишь от учителя к ученику и часто неявно, играетважную роль и в науке. Это — эстетические и оценочные критерии, покоторым оцениваются новые результаты и качество работ, и, самое главное, обычаи, гласящие, чем прилично и чем неприлично заниматься ученому, причисляющему себя к данной отрасли науки.