Как правильно: закончить работу или окончить работу? Закончить университет или окончить университет?

Глагол закончить в значении "довести до конца, завершить" синонимичен окончить, правильно: закончить работу и окончить работу.

В значении "пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо" употребляется только глагол окончить: окончить школу, вуз, университет, курсы и т. п.