Клюев родился 13 июля 1944 года в Москве. Актер театра и кино, театральный педагог, профессор. Был одним из ведущих актеров Государственного академического Малого театра. Художественный руководитель двух курсов ВТУ (института) имени М. С. Щепкина, заведующий кафедрой мастерства актера.

На его счету более 100 ролей в театре и кино.

Популярность к Клюеву пришла с фильмом "ТАСС уполномочен заявить..." (1984), где он исполнил роль шпиона Трианона. Актер часто играл аристократов в исторических лентах. В 1986 году на экраны вышел многосерийный фильм "Михайло Ломоносов", где Клюев исполнил роль графа Орлова. Артист сыграл роль графа Рошфора в фильме "Д`Артаньян и три мушкетера" (1979), герцога де Гиза в телесериалах "Королева Марго" (1996) и "Графиня де Монсоро" (1998). В начале 1980-х годов Клюев исполнил роль Майкрофта, брата легендарного лондонского сыщика в "Приключениях Шерлока Холмса".

В последние годы актер полюбился многим российским зрителям ролью Николая Петровича в сериале "Воронины".

Актер долго болел.В мае 2018 года у Бориса Клюева был диагностирован рак легких. 

Время и место похорон пока неизвестны. Прощание с актером пройдет в Малом театре.