Ноль - это тоже цифра! А ноль в математике был, есть, и будет.
PS: "Белый - это цвет! И черный - это тоже цвет! Вот видишь, Изя, я продал тебе *цветной* телевизор!"

Вместо нуля всегда можно написать "u, где u - действительное число, удовлетворяющее условию u+u=u". Собственно, именно эта фраза, а не какая-либо обозначаемая числом физическая величина (пусть даже в абстрактных условных единицах) и понимается под нулем в _математике_ (алгебра, анализ, дифф.уры, геометрия, тервер), начиная со второго курса.

...где u - нейтральный элемент по операции сложения в поле вещественных чисел... Бррр, "ноль" как-то привычнее. :)

Собственно, отсюда и пошло: раз мы рассматриваем только одну операцию, то нам все равно, поле это или группа, а нейтральный элемент группы именно что и называется нулем в математике. По сути дела, это определение нуля как понятия :)

(интересно, что у единицы два таких традиционных определения - как нейтрального элемента поля по умножению (важна ли нулевая/ненулевая характеристика?) и как базового элемента системы аксиом Пеано; только я не помню - если операция умножения распространяется на натуральные числа - это всегда одна и та же единица, или они могут быть разные для каких-то полей?)

Я помню свой поросячий восторг, когда на уроки линейной алгебры в 8-ом классе мы доказывали, что 0 < 1. Мысль о том, что это можно *доказать*, сдружила меня с математикой на 10 лет вперед. :)

Кстати, я не знаю как доказать, что 0<1 (где 0 и 1 - нейтральные элементы по сложению и умножению поля действительных чисел соответственно). "0 != 1" - это да, можно.

Предполагаем, что 1 <= 0



1 + -1 <= 0 + -1 (добавили в обе части -1 - обратный к 1 элемент по сложению)

0 <= -1 (упростили обе части)

0 <= -1 * -1 (по свойству отношения "<=", "0 <= X" & "0 <= Y" ==> "0 <= X * Y")

-1 * 1 + 0 <= -1 * -1 + -1 * 1 (добавили в обе части -1 * 1)

-1 + 0 <= -1 * (-1 + 1) (упростили слева, использовали коммутативность справа)

-1 <= 0 (упростили обе части)

-1 + 1 <= 0 + 1 (добавили 1 в обе части)

0 <= 1 - пришли к противоречию, потому что 0 ^= 1 - это мы уже знаем

Блин, пять лет пытался вспомнить... :)

Ну, спасибо, я порадовался, разбирая :)
Пропущен, конечно, шаг, что -1*0=0 (когда обе части умножали), но его понятно как доказывать. И опечатка с коммутативностью - это ассоциативность.
Но интерес к умножению неравенства на -1 (в этом, собственно, соль доказательства), он глубже: (тут я могу спороть чушь, потому что пишу по памяти, ленясь проверять себя гуглом, вещи о которых последний раз думал лет 15 назад) для конечных полей ведь способ ввести линейный порядок может быть не единственным - т.е., можно (я надеюсь) построить конечное поле, где формальная замена "<=" на ">=" сохранит все свойства линейного порядка. Если это так (а на бинарном поле навскидку не видно противоречия), то доказательство 0 < 1 обязано или требовать нулевой характеристики поля, или хотя бы, чтобы было -1 != 1 (тождественно ли это требованию, чтобы количество элементов поля была больше 2?), или еще чего-нибудь типа аксиоматичной минимальности единицы в смысле сложения.
В общем, использованное свойство отношения "<=" - оно не такое простое.

Насчет коммутативности - это я по запарке перепутал, конечно, и умножение на НЭпС тоже надо доказывать как лемму, но вот проблемы с умножением на -1 я не обнаружил. 0<=X & 0<=Y ==> 0 <= X*Y - это часть определения отношения "<=". Определение ">=" вторично, они не взаимозамениямы, и я подозреваю (если подумать, наверняка можно найти какой-нибудь контрпример), что линейные отношения не обязательно являются обратимыми.

Я даже в Википедию залез (статья "Вещественное число"), узнал много нового хорошо забытого старого. :)

На конечном множестве - почему линейный порядок может быть необратимым? Если я банально определю f(x,y)=(x<=y)?false:true; кажется несложным показать, что все аксиомы линейного порядка выполнены.
Вещественное число - это намного более глубокая конструкция, чем просто поле с линейным порядком, для вещественных чисел 0<1 без вопросов. А вот 0!=1 вроде бы для более общего случая поля (нулевой характеристики? содержащим натуральные числа?) не помню. Уже из Ваших выкладок очевидно, что целых чисел достаточно - т.е., наверное, достаточно бесконечности и линейного порядка.
Про определение порядка сейчас посмотрю.

Точное описание класса полей, где 0!=1 не нашел, а для 0<1 - да, достаточно линейного порядка, согласованного со структурой поля. Проблема, которая меня гложет, при этом осталась: вот если я в стандартном бинарном поле {0,1} волюнтаристически положу, 1<0, чему это будет противоречить? (В этом поле 1==-1).

Апдейт. А, понял: выкладки те же, просто нужно все время помнить, что -1 < 0 - неверное утверждение.

ujeen, если я правильно помню, волюнтаристскому определению операции на конечном поле из 0 и 1 мешает условие полноты (всегда существует такое c, чтобы a?b ==> a?c?b).

PS: Вообще я лезу в тему, которую изучал 24 (!) года назад. Дисклеймер даже набирать лень...

Условие полноты имеет смысл только на бесконечных полях. Тем не менее, я помню, что 0 < 1 и в бинарном поле - наверное, именно в силу Ваших выкладок, и с учетом того, что 0 < -1 в этой ситуации тоже.

ujeen, я только сейчас осознал, что наша дискуссия соответствует заголовку в большей степени, чем оригинальный пост. :)

Дорвались поговорить о насущном!