Родился в восточной части Дании на полуострове Ютландия, в семье богатого кораблестроителя. В детстве посещал уроки рисования в Художественом училище в Орхусе, позже переехал в Копенгаген. В 1875—1879 учился в датской королевской академии изящных искусств под руководством пейзажиста и портретиста Андриеса Фритца и мастера жанровой живописи Юлиуса Экснера. Затем Мёнстед прошел курс обучения в школе Петера Северина Кроера, а позже переехал в Париж, где занимался в мастерской одного из самых популярных живописцев его времени Адольфа Вильяма Бугро.

 

В 1882 посетил Рим и остров Капри, где был покорен красотой и яркостью красок средиземноморского пейзажа. В течение своей длительной карьеры П. Мёнстед много путешествовал, часто бывал в Швейцарии, Италии, северной Африке, а также Греции, где в течение года был гостем королевской семьи и писал их портреты. С начала XX века и до самой смерти П. Мёнстед был одним из наиболее популярных и состоятельных живописцев. Особой популярность пользовался в Германии у мюнхенской публики. Работы П. Мёнстеда вряд ли можно отнести к академической пейзажной живописи, так как творчество Мёнстеда находилось под сильным влиянием французского импрессионизма. Художник рисует то, что видит, особенно часто поля, леса, сельские домики и дворы. Его пейзажи располагают к долгому созерцанию. Несмотря на многочисленные поездки по миру, полотна П. Мёнстеда, в основном, написаны в Дании и изображают северные нетронутые пейзажи почти без человеческих фигур. Довольно часто на пейзажах изображал поверхностные воды: озера, ручьи, позволяющие наполнить пейзаж ещё большим ощущением атмосферы и воодушевления.