Пифагора теорема: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В первоначальной формулировке, Пифагора теорема устанавливала зависимость между площадями квадратов построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Пифагоровы тройки – это целочисленные длины сторон в прямоугольном треугольнике, которые в квадратном уравнении x² + y² = z² могут быть интерпретированы как представление натурального числа в виде суммы двух других чисел, где сумма, первое и второе слагаемые представлены специфической цифровой записью в виде квадратов построенных на сторонах такого целочисленного треугольника. «Чистая» математика может себе позволить это вербальное нагромождение свести к оперированию «чистым» числом. Для полноты картины упомяну, что:
1. Треугольник, стороны которого равны Пифагоровым числам – прямоугольный.
2. Любой такой треугольник называется Героновым, то есть все стороны, и площадь которых являются целочисленными.
3. Любая примитивная тройка однозначно представляется в виде (m² - n²), (2mn), (m² + n²) для некоторых натуральных взаимно простых m>n, имеющих разную чётность.
Пифагора числа или Пифагоровы тройки не случайно вызывали интерес у математиков. Магия числа и уверенность на уровне интуиции, что конгломерат основного материала математики – система чисел, содержит тайну и благодаря этой интриге заставляет снова и снова складывать, вычитать, умножать и делить. Традиционное отражение числа в зеркале математики – геометрическая фигура, как дань уважения предшествующим, стоящим у истоков математики вычислителям. Такое представление числа сохранилось и вторую степень основания именуют квадрат, а третью – куб.
Что желаем узнать, записав банальную операцию сложения двух чисел, представляя её в общем виде как: xⁿ + yⁿ = zⁿ ? При n = 2 известно, что так решают задачи нахождения сторон в прямоугольном треугольнике по Пифагору и, как частный случай, - решение в целых числах. Что же ищут и находят при n > 2, например, при n = 3? Переход от прикладной и чисто утилитарной задачи к абстрактной интерпретации, не имеющей особого практического значения, вызывает, тем не менее, не утихающий ажиотаж среди любителей. Однако ответ на вопрос ВТФ не так тривиален, как кажется.
Допустимо ли в математике наравне с существованием понятия точка, линия, плоскость – понятия «Прямоугольный треугольник, с нулевой длиной одного из катетов»? Рассмотрим прямоугольный треугольник, длина одного из катетов которого равна нулю, длина второго катета равна единичному отрезку и длина гипотенузы равна тоже единичному отрезку. Каким образом будет изменяться длина гипотенузы при изменении нулевого катета?
Таблица № 1.
Х = 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
