Родился в семье художника-пейзажиста. Изучал живопись в Королевской академии изобразительных искусств в Амстердаме. Уже в молодости пейзажи кисти Б. К. Куккука пользовались популярностью. В 1833 художник женился на дочери своего учителя и друга Ж. О. Дайвайла, Элизе Терезе; в этом браке родились 5 дочерей. Будучи признанным живописцем, Б. Куккук заслужил в Нидерландах титул «князь художников».

 

 

В 1834 году он переехал в Клеве, и в 1841 открыл в этом городе свою художественную академию и школу рисования, привлёкшую к себе внимание многих нидерландских живописцев. В 1842—1848 годах он построил в центре Клеве «Дворец художников» с мастерской (Дом Куккук). Здание, построенное в стиле нидерландского романтизма, является ныне художественным музеем и одним из красивейших архитектурных памятников середины XIX столетия в немецком Рейнланде и прилегающих к нему районах Нидерландов.

После смерти художника основанную им Академию искусств возглавил ученик Куккука и также талантливый пейзажист Иоганн Бернгард Кломбек.