Бордюр – это вид орнамента, периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте.

На практике бордюры встречаются в разных видах. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика.

Примеры бордюров

Фигура, обладающая симметрией переноса: верхняя фигура имеет бесконечное множество вертикальных осей симметрии.

Бордюр, накладывающийся на себя переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси

Математические принципы построения бордюров

Для создания бордюров - линейных орнаментов используются следующие преобразования:
а) параллельный перенос;
б) зеркальная симметрия с вертикальной осью;
в) зеркальная симметрия с горизонтальной осью;
г) поворотная (центральная симметрия).

[513x367]

На рисунках приведены 14 бордюров, разбитых на семь пар.

В каждую пару входят бордюры, одинаковые по типу симметрии. Всего существует семь типов симметрии бордюров.

[520x503]

а) Бордюры обладают переносной симметрией вдоль своей оси (вдоль оси переноса). В простейшем случае симметрия бордюра полностью исчерпывается переносной симметрией.

б) Бордюры обладают наряду с переносной также зеркальной симметрией: они зеркально симметричны относительно прямой, делящей ленту бордюра пополам в горизонтальном направлении. Здесь ось переноса является также осью симметрии.

в) У бордюров ось переноса является осью скользящего отражения.

г) Бордюры имеют вертикальные оси симметрии.

Эти оси изображены на рисунке в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси переноса.

д) Бордюры обладают переносной симметрией и поворотной симметрией(центральной).

ж) Бордюры, основанные на комбинировании зеркальных отражений. Такие бордюры имеют наряду с вертикальной также горизонтальные оси симметрии.

Рисунок бордюра получается, когда мы начинаем геометрически перемещать его элемент. Любой бордюр может быть совмещен сам с собой параллельным переносом. При рисовании бордюров используются, кроме параллельного переноса, симметрия относительно прямой и центральная симметрия (симметрия относительно точки).

Для построения линейных орнаментов (бордюров) нужно начать с построения его ячейки: также придумывают узор (трафаретку), потом с помощью параллельного переноса переносят узор на длину вектора ( направленного отрезка) влево или вправо во столько раз, сколько нужно.

Из рисунка видно, что из квадрата можно придумать бесконечно много ячеек линейных орнаментов (трафаретов) и выделить их цветом.

[289x180]