Понятное дело, что "чайник" происходит от слова "чай".
Но вот эта "н" в суффиксе насторожила меня вдруг, и я подумал, отягощенный знанием пары английских слов, спроста ли Чайна (China) и чайник (чай) так похожи?
То есть, если в английском тоже есть слово произносимое как "чай" и означающее известный напиток - это скажет в пользу того, что по-английски China - "страна чая".
Полез в интернеты:

http://www.tea-world.ru/tea/history/80/
"В разных древних сочинениях чай называли “тоу”, “тхе”, “кха”, “чун”, “мин”. В IV–V веках, когда практика показала, что лучший напиток получается из самых молодых листьев, к этим первородным именам чая прибавилось еще одно - “ча”.
В зависимости от местного названия того или иного сорта, в настоящее время китайцы используют множество слов, обозначающих чай, но большинство их содержит частицу “ча”. Словом “ча е” называется по-китайски чай в листьях, словом “ча и” – готовый, рассыпной чай и чай как напиток.
Русское слово “чай”, которое впервые пришло к нам как монгольское “цай”, переняли от нас болгары, сербы, чехи; португальцы говорят “чаа”, арабы – “шай”, народы Индии и Пакистана – “чхай” или “джай”, калмыки – “ця”, народы Средней Азии – “чай” или “чой”.
В общем, можно сказать, что наименования чая, в которых присутствуют звуки «ч», «ж», «ц», пришли через северные районы Китая и по Великому шелковому пути, то есть по суше. Туда же, где чай называется «тэ» или «ти», название попало через южные районы, в которых распространено кантонское наречие, то есть по морю."

дальше смотрим, что же такое China:
http://www.mblondel.org/journal/2006/05/27/etymology-of-japan-and-china/

The word China (French: Chine) may derive from Cin, the Sanskrit transcription of the name of the Qin Empire (2nd century BC). Marco Polo was already using Chin to refer to China at his time (1254-1324).

А в комментах - ещё интереснее:

I am only a casual linguist. When I studied Russian I learned that Russians are proud to pronounce the word for tea the same way as the Chinese, chai, unlike other Europeans.
This led me to suspect that the word China means “land of tea”.

Только, конечно, чувак упускает из виду, что русские не называли раньше Китай Чайной. Да и сейчас не называют, разве что коверкая слова: "маде ин чина". То есть, для них "чай" было автономным понятием, на уровне словообразования с Китаем не связанным.
А откуда взялось русское слово "Китай"?
Вот есть вполне себе некитайский Китай-город.
http://regraf.info/2012/07/29/этимология-китай-город-китай-чина-china/
А никто уже и не помнит. Совершенно различные предположения, исходящие из того, что кит или кита - это корень слова или что-то вроде того. Это же лингвисты. Но неважно.) Хоть Тай и Чай - похожие слова, но таем, вроде, в китае чай не назывался.

А вот ещё один коммент:

Cha is an English word for tea too. It’s commonly used in England, e.g. “Would you like a cup of cha?”

Что же получается? Это как раз в английском Чай и Чайна - однокоренные слова?
Как же тогда династия Цин и Марко Поло в 13-ом веке? Наверное, всё-таки cha - гораздо более поздно натурализированное слово из китайского и к европейскому названию Китая China отношения не имеющее.
Так что Чайная Чайна - это скорее всего слуЧайно :) и просто каламбур. С чем нас, любителей каламбуров, и поздравляю.