Спектральная теорема представляющая каждый (ограниченный) самосопряженный оператор виде его спектрального разложения, записанного с помощью интеграла Стилтьеса была доказана Д. Гильбертом между 1901 и 1912 гг. Насколько учит мой собственный опыт работы в квантовой задаче многих тел, если здесь и возникают какие либо нетривиальные вопросы, касающиеся спектральной теории, то для их разрешения достаточно обычной физической интуиции для понимания сути дела и более или менее искустного жонглирования некоторомыи более или менее стандартными трюками для нахождения уже строго доказательства, скорее, даже из теории меры, список которых не слишком то и длинный. Непонятно и скорее всего не очень то и верно говорить о стандартных трюках по отношению к таким вещам как конструкция P_2(\phi) модели, но это по-видимому, безусловно так, когда речь заходит о реалистичных моделях, потому, что там центр тяжести очень сильно смещен в сторону комбинаторных вопросов. И тут,разумеется возникает мысль, что, в силу того, что список используемых здесь стандартных трюков из теории меры и интеграла Лебега вполне уже даже и канонизирован, а все идеи можно сформулировать на физическом уровне строгости (в манере идущей от Хевисайда) а нельзя ли просто все эти трюки повыносить за скобки, сформулировав что то вроде метатеоремы, что для того, чтобы все эти трюки должным обазом проделать, достаточно совершенно стандартной и давно известной машинерии и запретив себе говорить о чем то подобном на языке спектральщины выражаться только на языке Хевисайдовщины. Боголюбов, к примеру, и это показательно, видимо понимая что то подобное, не стеснялся в своих работах, которые он позиционировал как математически строгие, формулировать спектральную теорему через полную систему собств. векторов (!!!) хотя и был редактором перевода на русский язык бессмертной книжки фон Неймана "Математические основы квантовой механики" Но есть еще один любопытный момент. В книжке Колмогорова_Фомина "Элементы ТФФФА" (Фомин читал курс ТФФА на физфаке МГУ(!!!)) начисто отсутвует спектральная теорема. Как эти товарищи там тусовались друг с другом, об этом свидетельствует хотя бы тот факт, что ученик Колмогорова ВИ Арнольд был избран академиком по представлению Боголюбова. Но еще более показательно, что в конце этой книжки Колмогорова-Фомина помещено приложение Тихомирова о Банаховых алгебрах в котором развит весь необходимый аппарат для док-ва спектральной теоремы даже для произвольного семейства коммутирующих друг с другом ограниченных самосопряженных опраторов, но самой теоремы нету. Не влияние ли это Боголюбова?! Но это и совершенно тенденциозное влияние, влияние характерное для науки ориентированной на оборонку. Так поступать совершенно нельзя в квантовой механике о конечном числе степеней свободы, но это скорее область дифференциальных уравнений с частными производными и с этой областью за свою жизнь я имел самые минимальные пересечения. И тогда возникает мысль, а не пытаться ли развивать Хевисайдовщину саму по себе отдельно от спектральщины для скорее языковых нужд КТП покопавшись сначала по старым учебникам в том числе быть может и электротехники. Удивительно, как в сове время долго шло принятие операционного исчления Хевисайда в математике, хотя, с точки зрения осременного анализа, кажется, что вопрос этого обоснования не стоит и пяти копеек. Хотя по сию пору спектральщину представители физики высоких энергий воспринимают крайне агрессивно

:)