Очень интересные «корзинки», которые можно хранить совсем-совсем плоскими: 
Начинку (между двумя слоями ткани) я бы сделала из пластика, например, от старых папок для документов:
Читать дальше

https://secondstreet.ru/blog/organizovannoe_hranenie/neobychnye-skladnye-lotki.html