Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

x·y' + y = y²

Решение этого уравнения я нашёл в интернете, но оно мне не понравилось. Вот оно:

[600x529]

Да! Это уравнение Бернулли.

Подстановкой   t = 1/y   оно сводится к линейному:   t' − t/x = −1/x

Но остаётся непонятным, почему при дальнейшем решении автор применил подстановку   t = u·v, а не   t = u·x. Ведь   t(x) — однородная функция первого измерения!

Заданное дифференциальное уравнение первого порядка можно решить намного проще и быстрее.

В левой части уравнения — производная произведения   x·y. Домножив и разделив правую часть на   x²   и внеся   (x·y)   под знак дифференциала, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

(x·y)' = (x·y)²/x²

Разделим переменные и проинтегрируем.

−d(x·y)/(x·y)² = −dx/x²;   ∫−d(x·y)/(x·y)² = ∫−dx/x²

1/(x·y) = 1/x + C = (C·x + 1)/x → y = 1/(C·x + 1) — общее решение дифференциального уравнения.