Как же правильно товарный знак или торговая марка?
Все зависит от законодательства той страны, где рассматривается употребление данных определений.
Согласно украинского законодательства используют и то, и другое.
А вот согласно российского, то здесь употребляется "товарный знак" и "знак обслуживания". В России термин "торговая марка" употребляется в жаргонном выражении и при этом довольно таки редко.

Регистрация торговой марки (или регистрация товарного знака) осуществляется на территории той страны, где производитель желает иметь статус торговой марки - это может быть и одна страна, и несколько.

Патентный поверенный Александр Пономарев занимается регистрацией товарных знаков по всему миру без посредников. На его официальном сайте в режиме online можно "Задать вопрос" и получить ответ не только на вопрос, касающегося регистрации торговой марки, а также таких вопросов как:
патентование изобретений
оценки торговой марки, товарного знака
регистрация авторского права
прочее.