При выборе определенного модуля возникает вопрос, а хватит ли конструкционных элементов, которые можно в нем построить, для создания знаков всего алфавита?
Вот этим мы и займемся.
Возьмем самый простой модуль – 1х1. И посмотрим, сколько знаков можно построить из его элементов. А уж все остальные модули явно имеют больше узловых точек, имеют больше конструкционных элементов, имеют больше вариантов для построения знаков.
Вариабельность – это вариационные возможности, сколько возможных решений можно получить из исходных предпосылок. В данном случае – сколько знаков можно построить в модуле 1х1.
В модуле 1х1 четыре узла (по углам четырехугольника). Все возможные отрезки прямых, которые соединяют эти узлы будут конструкционными элементами (или элементами). Из элементов или совокупности элементов образуются знаки.
Знаки могут состоять из одного элемента, из двух, из трех, из четырех, из пяти и из шести. Наша глобальная задача состоит в том, чтобы разработать такую систему последовательного выбора вариантов, чтобы быть уверенным, что выбраны все варианты и ни один из них не пропущен.
Действуем по порядку.
Знаки с одним элементом
Задача. Выбор всех возможных вариантов без повторов и без пропусков.
Что надо сделать. Надо соединить отрезками прямых возможные пары узлов.
Решение.
- Обозначим узлы модуля по порядку (по часовой стрелке).
[450x77] - Узел 1 соединяем со всеми последующими (и только последующими) узлами (2, 3 и 4).
[450x77] - Следующий узел 2 соединяем со всеми последующими (и только последующими) узлами (3 и 4).
[450x77] - Следующий узел 3 соединяем со всеми последующими (и только последующими) узлами (4).
[450x77] - У узла 4 последующих узлов нет. Его соединять не с чем. Стало быть, перебор закончен. Значит, все варианты выбраны.
Всего 3 + 2 + 1 = 6 вариантов. То есть возможно шесть одноэлементных знаков.
Проверка. В квадратном модуле четыре стороны, на которых возможны четыре элемента. И еще два косых элемента по диагоналям. 4 + 2 = 6 элементов.
Знаки с двумя элементами
Задача. Выбор всех возможных вариантов без повторов и без пропусков.
Что надо сделать. Ко всем однозначным элементам надо добавить такие же однозначные элементы.
Решение.
- Из предыдущих рассуждений (для одноэлементных знаков) берем все возможные элементы и обозначаем их по порядку.
[450x77] - К элементу 1 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (2, 3, 4, 5 и 6).
[450x77] - К элементу 2 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (3, 4, 5 и 6).
[450x77] - К элементу 3 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (4, 5 и 6).
[450x77] - К элементу 4 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К элементу 5 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (только 6).
[450x77] - У элемента 6 последующего элемента нет. Перебор закончен. Все варианты выбраны.
Всего 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 вариантов. То есть возможно 15 двухэлементных знаков.
Проверка. Из двух элементов можно построить фигуры типа.
Причем фигуры
Можно повернуть по четырем углам. То есть 3 х 4 = 12 вариантов.
Фигуру
Можно повернуть только по двум сторонам. 1 х 2 = 2 варианта.
И фигуру
Повернуть нельзя. 1 х 1 = 1 вариант.
Всего 12 + 2 + 1 = 15 вариантов. То, что и у нас.
Знаки с тремя элементами
Задача. Выбор всех возможных вариантов без повторов и без пропусков.
Что надо сделать. К двухэлементным знакам последовательно прибавить все одноэлементые знаки (или наоборот).
Решение.
- Из предыдущих рассуждений (для одноэлементных знаков) берем все возможные элементы и обозначаем их по порядку.
[450x77] - Из предыдущих рассуждений (для двухэлементных знаков) возьмем все двойные группы с их обозначениями по порядку.
[450x276] - К группе 12 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (3, 4, 5 и 6).
[450x77] - К группе 13 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (4, 5 и 6).
[450x77] - К группе 14 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 15 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 16 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 23 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (4, 5 и 6).
[450x77] - К группе 24 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 25 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 26 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- (12) К группе 34 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 35 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 36 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 45 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 46 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- У группы 56 последующих (по номеру) элементов нет. Перебор закончен. Значит, все варианты выбраны.
Всего 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 20 вариантов. Из трехэлементных групп можно составить 20 знаков.
Проверка. В результате построений у нас образуются пять типов трехэлементных групп.
Из них фигуры
Можно повернуть четыре раза по четырем углам. То есть 4 х 4 = 16 вариантов.
А фигуры
Можно повернуть только по два раза по двум сторонам. 2 х 2 = 4 варианта.
Всего 16 + 4 = 20 вариантов. Как и в наших расчетах.
Знаки с четырьмя элементами
Задача. Выбор всех возможных вариантов без повторов и без пропусков.
Что надо сделать. Надо к трехэлементным группам добавить одноэлементные (или наоборот). Или к двухэлементным группам добавить двухэлементные. Вероятно, ход мыслей во всех вариантах будет одинаков.
Решение.
- Из предыдущих рассуждений (для одноэлементных знаков) берем все возможные элементы и обозначаем их по порядку.
[450x77] - Из предыдущих рассуждений (для трехэлементных знаков) берем все тройные группы с их обозначениями по порядку.
[450x525] - К группе 123 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (4, 5 и 6).
[450x77] - К группе 124 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 125 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 126 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 134 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 135 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 136 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 145 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 146 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- У группы 156 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 234 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 235 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 236 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 245 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У группы 246 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- У группы 256 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эту группу.
- К группе 345 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - У групп 346, 356 и 456 последующих (по номеру) элементов нет. Пропускаем эти группы. Перебор закончен. Значит, все варианты выбраны.
Всего 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15 вариантов. Из комбинаций четырех элементов можно построить 15 разных знаков.
Проверка. В результате построения образуются пять типов групп.
Из них группы
Можно вращать по четырем углам. То есть они дают 3 х 4 = 12 вариантов.
Группу
Можно повернуть только на 90 градусов. То есть она дает 1 х 2 = 2 варианта.
А с группой
Ничего сделать нельзя. 1 х 1 = 1 вариант.
Всего возможных вариантов 12 + 2 + 1 = 15.
Знаки с пятью элементами
Задача. Выбор всех возможных вариантов без повторов и без пропусков.
Что надо сделать. Надо к четырехэлементным группам добавить одноэлементные (или наоборот) или к двухэлементным добавить трехэлементные (или наоборот). Но порядок рассуждений везде будет один и тот же.
Решение.
- Из предыдущих рассуждений (для одноэлементных знаков) берем все возможные элементы и обозначаем их по порядку.
[450x77] - Из предыдущих рассуждений (для четырехэлементных знаков) берем все возможные группы с их обозначениями по порядку.
[450x525] - Учитывая опыт построения предыдущих групп, можно смело отбросить (как непродуктивные) группы оканчивающиеся на 6. Тогда получится такой исходный комплект групп.
[450x226] - К группе 1234 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (5 и 6).
[450x77] - К группе 1235 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - К группе 1245 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - К группе 1345 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77] - К группе 2345 добавляем все последующие (и только последующие) элементы (6).
[450x77]
Перебор закончен.
Всего 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 вариантов.
Проверка. Из пяти элементов можно построить фигуры типа.
Причем, фигуру
Можно повернуть по четырем сторонам. То есть 1 х 4 = 4 варианта.
А фигуру.
Можно повернуть только два раза (по двум сторонам). 1 х 2 = 2 варианта. Всего 4 + 2 = 6 вариантов.
Знаки с шестью элементами
Возможен только один вариант.
Итак, всего из модуля 1х1 можно построить 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 знака. Что более чем достаточно для заполнения алфавита.
Если же для построения корректных знаков изъять знаки с верхним и правым элементами, то останется такой набор знаков.
Всего пятнадцать знаков, что явно меньше, чем надо для составления алфавита. Получается, что модуль 1х1 не пригоден для модульного шифра с корректными знаками.
| Этот пост является частью главы Модульные шифры |