(47)

Теория p-адических чисел появилась на исходе XIX века. Иначе говоря, научный мир узнал об этом открытии практически одновременно с публикациями революционных для физики идей о квантовании энергии и специальной теории относительности.

О том, сколь глубока в действительности связь между этими величайшими физическими открытиями и аппаратом p-адических чисел, станет известно много, много позже. Так что не только поначалу, но и чуть ли не век спустя после открытия – почти до конца XX столетия, p-адика существовала в представлениях ученых совершенно отдельно от физики.

Иначе говоря, необычную арифметическую конструкцию, изобретенную немецким алгебраистом Куртом Гензелем]1[, в научном мире очень долго продолжали воспринимать как теоретически полезную, но при этом совершенно абстрактную математическую структуру. Не имеющую абсолютно никаких связей ни с реальностью, ни, тем более, с полезными практическими приложениями.

Если же смотреть на эту картину с высоты нынешнего комплекса знаний, то несложно заметить, что траектория развития науки в XX веке вовсе не обязательно должна была быть такой, какой она получилась. И если бы у титанов научной революции находилось чуть больше желания и времени повнимательнее смотреть по сторонам, а не только продвигать собственные теории, целостность научной картины от этого только бы выиграла.

Причем речь здесь идет отнюдь не об оторванных от реальности фантазиях. Так, одновременное появление[10] в 1900 году квантовой гипотезы Планка, проложившей ученым путь в микромир, и публикация книги Фрейда «Интерпретация сновидений», открывшей для науки мир подсознания, навряд ли могли бы быть сразу восприняты как четкий сигнал к сведению физики и психологии в единое русло взаимно согласованных изысканий (на данный счет нет понимания и по сию пору).

Но вот обратить внимание на то, что структура и особенности необычных p-адических чисел красиво сочетаются с новейшими открытиями в физической науке, для выдающихся математиков эпохи вполне было по силам. Тем более, что ученых таких имелось немало, а задачи математической физики всегда играли первостепенную роль. Несмотря на все это, увы, ни объединения, ни даже заметных пересечений для физики и p-адики тогда не произошло…

Необычная суть p-адической конструкции заключается в том, что абстрактную математическую идею непрерывности можно, оказывается, выводить стройно и непротиворечиво на основе модели, очень сильно отличающейся от привычных всем действительных чисел. Если для действительных чисел как самоочевидное предполагается, что все они упорядоченно расположены на числовой оси, а всякий отрезок на этой прямой можно (до бесконечности) делить на два меньших с общей границей, то для p-адических чисел картина выглядит существенно иначе.

Начать следует с того, что множество p-адических чисел является неупорядоченным. То есть для любой пары таких чисел невозможно говорить, что одно из них «больше», а другое «меньше». Соответственно, между этими числами нет и интервала, в котором можно было бы искать другие числа – типа «меньше первого и больше второго». Но при этом, имея сугубо дискретную природу, они плотно заполняют собой все «числовое пространство».

Наглядности ради, p-адические числа можно уподобить ветвям и листьям огромного раскидистого дерева. Если представить, что такое дерево выросло из некоторой определенной точки на числовой прямой, то обнаруживается удивительное соответствие этих множеств. То есть ветвей и листьев на математическом дереве настолько много, что для любой точки на числовой оси можно найти соответствующую величину и на древовидной структуре – продвигаясь по дереву согласно строго определенным правилам.

Чтобы правила эти в общих чертах стали понятны, полезно привести довольно близкую аналогию с разложением действительных чисел по разным основаниям. То есть надо представлять, каким образом всякое число эквивалентно записывают в виде суммы степеней одного и того же числа-базы – как это делается в десятичной записи, двоичной записи, шестнадцатиричной и так далее.

В конструкции p-адических чисел делается примерно то же самое, но в качестве основания берется простое число – делимое лишь на себя и 1 (в немецком языке такого рода объект именуют Primzahl, что и подсказало Курту Гензелю назвать свое открытие p-adischen Zahlen). Гензель обнаружил, что если рациональные числа, то есть дроби, определенным математическим образом (с помощью модульной арифметики) выражать через степени простого числа, то получается особый, вполне полноценный мир чисел.

[584x350]А самое главное, через этот мир удобно подходить к известным сложным задачам математики. В частности, p-адика оказалась очень полезна для выяснения общих вопросов о разрешимости алгебраических уравнений.

Поскольку всякая система p-адических чисел выстраивается – или вырастает словно дерево – отдельно для каждого простого числа p, то можно говорить, что Курт Гензель открыл в математике бесконечное множество параллельных вселенных. Причем каждый из этих миров не хуже действительных чисел способен заполнять все промежутки между рациональных числами – представляя иррациональные числа (корни уравнений, значения логарифмов, синусов-косинусов и так далее) в виде бесконечных разложений по степеням p.

И что особо примечательно, каждая из p-адических вселенных имеет гранулированную структуру, сформированную на основе своего собственного «неделимого атома» p.

На фоне этих пояснений существенно иначе начинают выглядеть и важные успехи физики, достигнутые одновременно с появлением p-адики. С одной стороны – богатые результаты классической физики, наработанные относительно гранулированной структуры пространства (модель Кельвина для эфира как «вихревой губки»)[51]. А с другой – идеи Планка о квантованной, а значит тоже «гранулированной», природе энергии…

Иначе говоря, математический мост для органичного перехода от классической физики к квантовой теории имелся, по сути дела, с самого начала. Более того, спустя еще полтора десятка лет (в 1916, одновременно с рождением ОТО Эйнштейна) в теории чисел был доказан и фундаментально важный для обеих физик математический результат.

Ученик Гензеля, совсем молодой в ту пору российский математик Александр М. Островский доказал теорему (ныне известную под его именем), согласно которой рациональные числа можно пополнить до непрерывного множества лишь только двумя альтернативными способами – либо аппаратом действительных чисел, либоp-адических. Никаких других вариантов нет и не может быть в принципе…

(48)

Почему столь абстрактный, казалось бы, математический результат, как теорема Островского в теории чисел, оказывается чрезвычайно важен для фундаментальных основ физики, яснее станет чуть позже. Сейчас же самое время вспомнить про более древний «французский след».

С «деревом Декарта» и ролью этого образа для описания p-адических чисел ситуация, вероятно, уже достаточно понятна. Но вот причем здесь «сфера Паскаля»?

Для ясности в этом вопросе полезно рассмотреть конструкцию и свойства p-адики несколько с другой стороны – в терминах так называемых ультраметрических пространств, введенных в теорию чисел в 1944 году Краснером.

(Марк Краснер был еще одним математиком русского происхождения, которому в юном возрасте – как и Островскому – пришлось перебраться на Запад из России, зараженной антисемитизмом и бурно кипящей революциями. В середине 1930-х годов он защитил в Париже диссертацию под руководством Жака Адамара и последующие полвека, вплоть до смерти в 1985, оставался уже французом. Что же касается Александра Островского, то он после смены городов и стран к 1927 году осел в Швейцарии, где получил математическую профессуру в университете Базеля. На остальные 60 лет его долгой жизни этот город и стал для Островского домом…)

Уже по названию объекта, «ультраметрическое пространство», можно понять, что речь идет о таком множестве, где метрика – то есть мера расстояния – между элементами задается не так, как принято обычно.

Что такое метрика обычная, проще всего иллюстрирует евклидова геометрия, где свойства расстояний между точками интуитивно ясны и самоочевидны. Метрика всегда положительна, а нулю равна лишь в том случае, если точки совпадают. Расстояние от точки A до точки B равно расстоянию от точки B до точки A. Ну а для вершин треугольника расстояние между двумя любыми точками не превышает суммы расстояний от этих точек до третьей.

Последнее из перечисленных свойств обычно так и именуют – неравенством треугольника. Но вот если его чуть-чуть усилить, потребовав, чтобы расстояние между любыми вершинами во всяком треугольнике всегда не превышало длину наибольшей из двух других сторон (сильное неравенство треугольника), то происходит удивительная вещь. Выяснилось, что геометрия пространства с такой «ультраметрикой» не только выглядит существенно иначе, нежели евклидова, но и обычная человеческая интуиция относительно свойств пространства тут совершенно перестает работать.

Например, во всяком ультраметрическом пространстве любой треугольник является либо равносторонним, либо равнобедренным. И более того, основание равнобедренного треугольника не может быть больше боковых сторон.

Одним из любопытных следствий этого свойства оказывается то, что любые два шара в ультраметрическом пространстве либо вообще не пересекаются, либо один из них целиком содержится внутри другого. Похожим образом ведут себя капельки ртути.

Из-за этих свойств ультраметрические пространства образуют, как иногда говорят, систему с естественной иерархией. В такой системе шары меньшего радиуса без пересечений и пустот полностью заполняют собой шар большего радиуса. Причем внутри любого из шаров иерархии расстояние между произвольными двумя точками всегда одно и то же. И равно радиусу данного шара.

Совершенно логичным, но при этом все равно довольно неожиданным и необычным следствием этой «естественной иерархической» структуры оказывается вот что:любая точка ультраметрического шара является его центром.

Никто не успел, наверное, еще забыть, какими словами Блез Паскаль описывал устройство природы?

Ну а к математике p-адических чисел вся эта конструкция имеет самое непосредственное отношение по той причине, что саму концепцию ультраметрических пространств Марк Краснер вводил непосредственно на их основе.

Так что с самого начала и вплоть до сегодняшнего дня p-адические числа являются хотя и не единственным, но бесспорно важнейшим примером ультраметрических пространств. Или системы бесконечно вложенных друг в друга шаров, «центр которых везде, а край нигде».

(49)

Дабы произошел естественный переход от абстрактной p-адики ко вполне конкретным исследованиям тайн в устройстве материи, сознания и реальности в целом, осталось сделать всего один шаг. На языке математиков этот шаг называется неархимедов анализ.

Среди важнейших особенностей ультраметрических пространств всегда непременно упоминают, что их геометрия является неархимедовой. Конкретно здесь свойство неархимедовости означает, что из любой точки ультраметрического пространства невозможно удалиться на расстояние, превышающее некоторую величину R, если делать шаги не более R. То есть, чтобы выйти за пределы круга, надо обязательно сделать шаг, превышающий радиус этого круга…

Понятно, что эта странная особенность никак не соответствует всему нашему опыту и представлениям о мире, описываемом евклидовой геометрией и ее аксиомами. По той, в частности, причине, что среди аксиом классической геометрии имеется одна весьма особенная – так называемая аксиома Архимеда – которую на протяжении тысячелетий математики вообще не замечали.

Впервые выделили и проанализировали эту аксиому Джузеппе Веронезе и Давид Гильберт. По своей значимости для основ математики это открытие можно сравнить с открытием неевклидовой (римановой) геометрии искривленных пространств. Потому что и здесь было показано, как отказ от аксиомы Архимеда приводит к совершенно иной, неархимедовой геометрии, которая также демонстрирует свою полноценность и непротиворечивость.

Причем обнаружено это было – что имеет смысл отметить – в самом конце XIX века, всего за несколько лет до первых открытий квантовой физики. Но в ту пору, конечно же, заметить это было крайне сложно…

Так в чем же суть аксиомы Архимеда, десятки веков незримо присутствовавшей в математике как самоочевидная истина?

Рассмотрим прямую линию и выберем на ней два отрезка, имеющие разную длину и начинающиеся в одной точке. Так вот, аксиома Архимеда гласит, что если прикладывать меньший отрезок вдоль прямой достаточно большое число раз, то в конце концов мы непременно превзойдем длину второго, более длинного отрезка.

Фактически, эта аксиома описывает стандартную процедуру измерения – мы как бы сравниваем произвольную величину с эталоном меньшего размера. По этой причине аксиому Архимеда иногда называют аксиомой измеримости. А одним из ее естественных следствий является то, что всегда должна быть возможность для измерения сколь угодно малых расстояний – путем выбора еще более мелкого эталона.

И вот тут-то обнаруживается принципиальное противоречие между традиционной, архимедовой математикой пространства и устройством реального мира, описываемого квантовой физикой.

В квантовой теории – самой продвинутой из всех физических наук человека – имеется фундаментальной важности результат. Согласно которому при любой мыслимой точности приборов нет никакой возможности измерить расстояние с погрешностью меньшей, чем некоторая константа, именуемая «планковской длиной».

Эта минимальная величина размера выведена как соотношение самых главных констант, описывающих физику нашего мира – постоянной Планка, скорости света и константы гравитационного взаимодействия. Планковская длина очень мала, 10-35метра, но она говорит о том, что при данных масштабах вся известная нам физика-математика действовать перестает. По той уже причине, что геометрия обычного евклидова и, даже более обобщенно, риманова пространства неадекватно описывает свойства реального физического мира на очень малых расстояниях.

Иначе говоря, для традиционной математической физики обозначился своего рода непреодолимый барьер. Но вся наука устроена так, что любой барьер трактуется лишь как сигнал к поиску новых, нетрадиционных инструментов для решения проблемы.

Здесь же суть проблемы выглядела примерно так. Общепринятая в науке система аналитического описания задач оперирует действительными числами. Это кажется совершенно естественным, ибо так в математической физике было всегда, начиная с Ньютона и Лейбница, создавших аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

Аппарат же этот в основах своих построен на ключевой особенности действительных чисел: любой интервал длины или времени здесь можно уменьшать до бесконечности. Или иначе, если понадобится, то точность измерения – в десятичной записи величины – можно повышать до любой нужной цифры после запятой.

Но если над этим моментом задуматься чуть поглубже, то приходится сделать вывод, что с физической точки зрения здесь делается чересчур сильное и более того, неверное допущение. Как в экспериментальном, так и в теоретическом смыслах.

Потому что в любом физическом опыте всякую нужную величину реально можно измерить только рациональным числом – как отношение одного целого числа к другому. Насколько позволяет градуировка прибора… Формулируя чуть иначе, рациональные числа и только они являются подлинно «физическими» числами.

Описание естественно-научных моделей с помощью действительных чисел – как одного из возможных расширений чисел рациональных – происходило несколько сотен лет и на микромасштабах зашло в тупик. Из теоремы Островского известно, что другим логически оправданным вариантом для описания мира являются р-адические числа, в пространстве которых аксиома Архимеда нарушается.

Ну а поскольку каких-либо третьих вариантов пополнения рациональных чисел до понятия непрерывности в мире математики больше не имеется, то естественно предположить, что настало, очевидно, время для описания мира в терминах p-адической арифметики и неархимедовой геометрии.

По каким-то необъяснимым пока историческим причинам, ключевая роль в переформулировке физики на язык р-адических чисел и ультраметрического анализа досталась ученым российской математической школы. И что примечательно, реальный прогресс на данном направлении начался лишь после того, как в середине 1980-х годов скончались Марк Краснер и Александр Островский…