(55)
Двигаясь далее в том же направлении, пора более тщательно присмотреться, почему расслоение Хопфа именуют «нетривиальным». И отметить, почему эта его особенность позволяет объяснить естественным образом такие загадочные факты, как леворукая киральность вселенной и три поколения частиц-фермионов.
В качестве элементарного примера, демонстрирующего, что представляет собой тривиальное расслоение, обычно приводят форму цилиндра, который образован отрезками, отходящими от множества точек окружности. Поверхность такого цилиндра называют расслоением окружности, а образующие ее отрезки – слоями.
[показать]
Тривиальное (слева) и нетривиальное расслоение
Соответственно, расслоение называется нетривиальным, если поверхность, сформированная слоями, оказывается не обычной, а односторонней. Простейшим примером такой поверхности – т. е. нетривиального расслоения – является лента Мебиуса.
Чтобы стало понятнее, каким образом в нетривиальном расслоении Хопфа, где слоями являются окружности, в качестве важной структуры присутствует лента Мебиуса, полезно привести две внешне разных фигуры, которые в действительности являются топологически эквивалентными. Одна в виде графа-лестницы отображает традиционную суть ленты Мебиуса как односторонней поверхности, а вторая, пользуясь резиновыми свойствами топологии, растягивает тот же граф в виде окружности, противоположные точки которой соединены отрезками-слоями.
Тот факт, насколько важным делом может быть нетривиальная топология ленты Мебиуса с точки зрения физики, не так давно в очередной раз красиво показала группа китайских исследователей из пекинского Института теоретической физики]5[. В 2009 году они опубликовали теоретическую работу, посвященную электронным свойствам листа, изготовленного из нового материала графена и имеющего форму ленты Мебиуса.
В этом исследовании расчетами продемонстрировано, что графеновая лента Мебиуса ведет себя как «топологический изолятор с надежной металлической поверхностью»[TI]. То есть по краю ленты происходит движение электронов без потерь энергии, в то время как вся остальная часть (балк) ленты электрический ток не пропускает, демонстрируя свойства изолятора. Иначе говоря, сама топология формы порождает необычные свойства материала.
Спустя еще три года, в мае 2012, работа теоретиков из американского Института ядерной теории в Сиэтле показала, что если известные физические свойства топологического изолятора предположить для пространства-времени всей вселенной, то тогда удается обнаружить и совершенно естественный топологический механизм, порождающий именно три поколения частиц-фермионов.]6[
Если в двух словах пояснить суть открытия, которое сделали Дэвид Каплан и Сычун Сун, то их расчеты показывают, что наша вселенная имеет дополнительное, пятое измерение, которое в силу непреодолимых математических обстоятельств «запрещено» для частиц нашего мира – аналогично тому, как внутреннее пространство материалов, именуемых топологическими изоляторами, оказывается вне пределов досягаемости для электронов проводимости на их поверхности.
Рассматривая пространство-время как 4D-поверхность, ученые уподобили ее проводящей поверхности, ограничивающей балк «изолятора» более высокой размерности (5D). А затем, обоснованно предполагая определенную топологию такого 5D-пространства, состоящего из дискретных энергетических слоев, авторы показали, что здесь могут порождаться в точности три семейства частиц – привязанных к своим четырехмерным поверхностям...
Дабы эффектно дополнить ту же самую «слоеную» тему, можно еще раз вернуться к гладким гомотопным преобразованиям, демонстрирующим богатство структур, скрытых в обычном футбольном мяче. Американский исследователь Майкл Тротт, разносторонне изучавший эту конфигурацию с помощью научной компьютерной программы Mathematica, обнаружил вот еще какой факт.]4[
Одно из преобразований, демонстрируемых Троттом с помощью анимационных клипов, показывает процесс морфинга между уже известным нам двухслойным футбольным мячом и трилистным узлом – еще одной примечательной формой, богатой своими топологическими свойствами.
Наглядности ради, гладкий морфинг показан в противоположную сторону – как узел-трилистник преобразуется в футбольный мяч. Для того, чтобы такой трюк стал возможен, на тороидальную поверхность узла наносится прежняя сетка мощения многоугольниками – 2×32 клетки футбольного мяча – но только теперь не в одном, а в трех экземплярах-копиях, замкнутых в периодический узор.
После чего все три копии одновременно укладываются на два слоя римановой сферы, изображающей футбольный мяч. В итоге, на финальном графике, все три пары футбольных мячей совмещены в пространстве друг с другом.[6E]
Целый ряд обстоятельств делает эту иллюстрацию очень важной в контексте расслоения Хопфа. Во-первых, между топологией трилистного узла и лентой Мебиуса имеется самая непосредственная связь. Если лента Мебиуса перекручена не на один полуоборот, как обычно, а на три, и если эту фигуру разрезать по осевой линии, то получится односторонняя лента, завязанная в трилистный узел.
Во-вторых, узел-трилистник является классическим – как и лента Мебиуса – примером киральной фигуры, то есть при наложении не совпадает со своим зеркальным отображением. Соответственно, наличие гладкого гомотопного преобразование между тором-трилистником и двухслойной сферой показывает, что и в этой, казалось бы, шарообразной фигуре, не имеющей правых и левых предпочтений, на неких внутренних уровнях оказывается заложено свойство киральности.
Ну и, в-третьих, наконец, очень важен момент с тремя копиями двухслойного покрытия, которые на поверхности узла-трилистника расположены периодически друг за другом, а на римановой сфере укладываются в полностью совпадающие три пары. Такая картина означает, что если в геометрии вселенной имеется киральная топология узла-трилистника, то это эквивалентно ситуации, когда каждая из двух сторон мембраны-поверхности имеет трехслойную структуру. Или, иначе, естественным образом обретает дополнительное измерение и три поколения частиц…[6F]
(56)
Внимательные читатели, быть может, уже обратили внимание, что важные научные открытия, указывающие на скрытые особенности в устройстве вселенной, сделаны с опорой на необычные молекулярные конструкции, в основе которых лежит атом углерода: графен и фуллерены. Принимая во внимание, что атомному весу – то есть числу нуклонов в ядре – углерода соответствует число 12 (число граней додекаэдра), и то, что именно углерод лежит в основе всех известных нам форм биологической жизни, трудно делать вид, что все эти совпадения – обыкновенная случайность.
Куда более вероятно, что и в данном случае мы имеем дело с очередными проявлениями всеобщего «голографического принципа» – когда даже самый мельчайший фрагмент конструкции воспроизводит собою ключевые особенности целого… Соответственно, сосредоточившись теперь на этой идее, самое время рассмотреть, какие взаимосвязи наблюдаются между голографией и расслоением Хопфа.
Можно напомнить, что в теоретической физике под термином «голографический принцип», строго говоря, принято понимать вовсе не соотношение между целой картиной и ее частями, а нечто существенно иное. Типа того, что разные наборы уравнений, описывающие поведение отличающихся систем различной размерности, в действительности могут описывать одну и ту же физику. Примерно так же, как плоская (2D) пластина голограммы содержит в себе всю информацию для воссоздания объемного трехмерного изображения (3D).
Среди главных достижений голографического подхода в современной теоретической физике чаще всего упоминают так называемое AdS/CFT-соответствие, демонстрирующее одну и ту же физику у двух совершенно разных систем. Одна из них – пятимерное пространство-время анти-де Ситтера (AdS), имеющее гиперболическую геометрию отрицательной кривизны. Вторая же система – сферическое 4-мерное пространство, выступающее в качестве границы AdS и описываемое конформной теорией поля (CFT), в целом похожей на физику нашего мира.
Для того, чтобы непосредственная связь между AdS/CFT и расслоением Хопфа стала более ясной и наглядной, полезно привести два различных, но эквивалентных подхода к заполнению объема искривленными поверхностями. Один из этих способов, (a), уже нам знаком и представляет собой параллели Клиффорда в виде окружностей, формирующих торы. Второй же способ, (b), является линеаризацией первого, так что параллели Клиффорда действительно становятся отрезками прямых, но при этом образуют искривленную «линейчатую поверхность» или гиперболоид вращения отрицательной кривизны. Границей такой поверхности является окружность или 1-сфера.
Опираясь на эти картинки, взаимосвязи с AdS/CFT показать уже проще. Потому что внешнюю часть тора с положительной кривизной можно уподобить миру сферической системы-границы CFT (здесь размерность 2D). А внутреннее пространство «дыры», ограниченное гиперболоидом отрицательной кривизны, рассматривать как мир AdS (размерности, соответственно, 3D).
При таком подходе к моделированию, пространство-время AdS выглядит как стопка плоских (2D) кругов, каждый из которых имеет гиперболическую геометрию пространства, а все они уложены друг на друга по вертикальной оси времени (образуя 3D).
[показать]
Слева: Проекция гиперболического пространства на плоскость. Каждая рыбка на самом деле имеет один и тот же размер, а окружность границы находится бесконечно далеко от центра диска. Сжатие размеров рыбок сделано для того, чтобы уместить бесконечное пространство в круге конечного размера. Это визуальный эффект сильного искривления пространства. Центр и справа: Физика в таком пространстве-времени («стопке дисков») довольно специфична. Что мяч, что луч света, пущенные из центра диска, возвращаются обратно за одно и то же время (с тем отличием, что свет успевает достичь края пространства). Подробности см. в ]7[.
Если сделать поперечный срез тора в любой момент времени, то всякому кругу в мире AdS соответствует окружность-широта на внешней оболочке – снимок «нашего» мира CFT. Мира размерности 1D, который по той же оси времени движется из прошлого (низ тора) в будущее (верх тора).
Поскольку «мир AdS» геометрически находится в «дыре» тора, а всякая окружность в расслоении Хопфа, образующая поверхность тора, непременно содержит внутри себя и эту «дыру», то для точечных обитателей «мира CFT», живущих на широте, просматривается интересная возможность. Если косую окружность слоя Хопфа считать их «памятью», т. е. основой сознания, то пространство внутри этого круга, приходящееся на «дырку» тора, можно считать 2-мерной «голограммой сознания». Причем, благодаря геометрическим особенностям косого сечения, эта голограмма позволяет обитателям «мира CFT» путешествовать внутри своего сознания как в пространстве, так и во времени.
Как всем известно, примерно так же – «силой мысли» – люди нашего мира способны путешествовать через пространство-время в своих мечтах, сновидениях и в воспоминаниях «околосмертного опыта», связанного с пребыванием в тонком мире духов и душ умерших. Иначе говоря, имеются основания для того, чтобы это пространство – по геометрическим причинам неразрывно связанное с нашим – именовать пространством тонкого мира.
Немаловажным моментом в выкладках AdS/CFT является то, что CFT-физика на границе-оболочке хотя и похожа в общих чертах на физику нашего мира, однако не имеет гравитации. А вот физика 5-мерного AdS, напротив, хотя этот мир в остальном совершенно не похож на наш, включает в себя гравитацию естественным образом.
Чтобы стало понятнее, как преодолевается это очевидное, на первый взгляд, несоответствие с физикой реального мира, полезно еще раз вспомнить о 2-бранной модели Рэндалл-Сундрума, требующей 5 измерений (см. 4.4). И о том, что загадочный мир «гравитобраны» в их модели куда более естественно можно объяснить через мир мембраны как замкнутой односторонней поверхности типа ленты Мебиуса. Где вторая половина всех частиц нашего мира сконцентрирована в звездах. Или, иначе говоря, в таких областях пространства, геометрия которых сильнейшим образом деформирована эффектами гравитации.
Тут же уместно напомнить и добавить в эту картину такой немаловажный нюанс. Из-за постоянных перескоков частиц нашего мира с одной стороны мембраны на другую мы – как наблюдатели – все время оказываемся то «внутри», то «снаружи» поверхности сферы. В таких условиях естественным усреднением всех наших наблюдений относительно кривизны пространства оказывается то, что геометрия вселенной повсюду представляется плоской – словно лист бумаги на столе…
Наконец, еще одним примечательным следствием данной конструкции, как было показано ранее (см 4.3), является эффект переворота топологического заряда при каждом перескоке частицы с одной стороны мембраны на другую. Если рассмотреть этот процесс в терминах магнитного монополя Дирака, то несложно, наверное, увидеть, что именно здесь и заключается геометрический ответ на загадочную неуловимость в природе столь желанного для теоретиков объекта.
В каком-то смысле, поиски монополя Дирака – это примерно то же самое, что попытка увидеть целиком частицу, которая с одной стороны мембраны является протоном, а с другой электроном.