Вычислить длину дуг кривых: а) y=1-lnSin(x^2-1) 3 ≤x ≤4 б) x=2(2Cost-Cos2t) y=2(2Sint-sin2t) 0 ≤ t ≤п/3 в) ρ=8(1-Cosφ) -2π/3 ≤φ≤0 Рассмотрим задание б). Пусть x = 2 • (2 • cos t - cos 2t), y = 2 • (2 • sin t - sin 2t). Тогда x'(t) = 2 • (-2 • sin t + 2• sin 2t) = 4 • (sin 2t - sin t) = 4 • 2 • cos (3t/2) • sin (t/2) = 8 • cos (3t/2) • sin (t/2) , y'(t) = 2 • (2 • cos t - 2 • cos 2t) = 4 • (cos t - cos 2t) = 4 • 2 • sin (3t/2) • sin (t/2) = 8 • sin (3t/2) • sin (t/2), (x'(t)) 2 = 64 • cos 2 (3t/2) • sin 2 (t/2), (y'(t)) 2 = 64 • sin 2 (3t/2) • sin 2 (t/2), (x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 = 64 • cos 2 (3t/2) • sin 2 (t/2)+ 64 • sin 2 (3t/2) • sin 2 (t/2) = 64 • (sin 2 (3t/2)+ cos 2 (3t/2)) • sin 2 (t/2) = = 64 9; sin 2 (t/2). Находим дифференциал дуги: dL = √((x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 ) • dt = √(64 • sin 2 (t/2)) • dt = 8 • sin (t/2)• dt. Находим неопределённый интеграл ∫sin (t/2) • dt = -2 • cos (t/2) + C. Находим длину дуги: L = 0 ∫ π/3 (8 • sin (t/2)) •dt = -8 • cos (t/2)| 0 π/3 = -8 • (cos (π/6) - cos 0) = -8 • ((√3)/2 - 1) =8 - 4√3 ≈ 1,072. Ответ: 8 - 4√3 ≈ 1,072. Рассмотрим задание в). Пусть ρ = 8 • (1 - cos φ). Тогда ρ' = 8 • (1 - cos φ)' = 8 • sin φ, ρ 2 = 64 • (1 - 2 • cos φ+ cos 2 φ), (ρ') 2 = 64 • sin 2 φ, ρ 2 + (ρ') 2 = 64 • (1 - 2 •cos φ + cos 2 φ) + 64 • sin 2 φ = 64 • (1 - 2 • cos φ) + 64 • (cos 2 φ +sin 2 φ) = 64 • (2 - 2 • cos φ) = = 64 • (2 - 2 • (2 • cos 2 (φ/2) - 1)) = 64 • (2 - 4 • cos 2 (φ/2) + 2) = 64• (4 - 4 • cos 2 (φ/2) = 256 • (1 - cos 2 (φ/2)) =256 • sin 2 (φ/2), √(ρ 2 + (ρ') 2 ) = √(256 •sin 2 (φ/2)) = 16 • sin (φ/2), ∫sin (φ/2) • dφ = ∫sin (φ/2) • d(2φ/2) = 2 • ∫sin (φ/2) • d(φ/2) = -2 • cos (φ/2) + C. Находим длину L дуги кривой: L = -2π/3 ∫ 0 (16 • sin (φ/2)) • dφ = 4π/3 ∫ 2π (16 • sin (` 6;/2)) • dφ =-32 • cos (φ/2)| 4π/3 2π = = -32 • (cos π - cos (2π/3)) = -32 • (-1 - (-0,5)) = -32 • (-0,5) = 16. Ответ: 16.