https://assalam786.livejournal.com/94493.html?utm_...0xZXDksbTBTPJM7YXKRs7sv1jRoP2A

По ссылке много картинок. Советую сходить.

Из наших прошлых заданий в неорганическом мире мы помнили, что наиболее плотно-упакованные структуры создают квадрат и шестиугольник. Формируя пчелиный био-алгоритм для постройки сотов, наши старшие братья Матемаги взяли за основу шестиугольник, поскольку экономнее него формы в Природе нет.

Но вот незадача: соты статичны, а цветок – живой, он растет. Соты можно начинать из любого места, а цветок разворачивается из бутона центробежно, увеличиваясь в размере. Как сохранить одну и ту же пропорцию между старыми и новыми соцветиями и при этом разместить их как можно ближе друг к другу? Шестигранники тут не подойдут.

Решением может быть спираль с постоянным углом поворота. Но каким должен быть этот угол? Цветок не сможет «думать» и менять его в зависимости от ситуации: что мы заложим в генетическую матрицу, то и будет материализовать растение.

Поэкспериментировав на Матемагическом Симуляторе, мы поняли, что, выбрав любое целое число поворотов спирали - 1,2,3,4,5 и так далее, мы получим лишь прямую линию. Ведь, сделав полный круг, мы всегда возвращаемся на то же самое место, не так ли? Мы попытались улучшить результат, используя дробные числа - 1/4 оборота, 1/3 оборота, 9/10 - и увидели, что это улучшает компактность, но лишь незначительно:





Мы поняли, что нам следует искать число, которое невозможно было выразить дробью из целых чисел – иррациональное число. Забравшись в Архив, мы выбрали несколько Священных Констант – иррациональных чисел, которые были в большом почете у Матемагов:

- число π, приблизительно равное 3,14 и имеющее особую связь с окружностями и циклами. Любой периодический процесс во Вселенной - дыхание, биение сердца, порывы ветра, волны в океане, движение планет вокруг солнца, электронов внутри атома – управляется числом π;

- √2, квадратный корень из двух, приблизительно равный 1,41 и выражаемый геометрически как диагональ квадрата со стороной 1. Он тесно связан с неорганической жизнью и обеспечивает наиболее плотно-упакованные структуры в молекулярных решетках, сохраняющие энергию благодаря принципу наименьшего действия;

- число е, приблизительно равное 2,72 и часто присутствующее в функциях роста;

- число φ (фи), приблизительно равное 1,618 и называемое Золотой Пропорцией или Золотым Сечением. Оно встречается в соотношениях частей тела живых организмов и их ДНК, звезд, планет и их орбит, элементарных частиц – иначе говоря, во всем, что движется и самоорганизуется.

Итак, мы задали углы поворота спирали, соответствующие Священным Числам Матемагов, на Симуляторе, и вот что у нас получилось:



Совершенно очевидно, что Золотая Пропорция дает наиболее компактное расположение соцветий. Ближе всего к ней оказася результат √2, но он все же оставляет больше зазоров. Если хотите повторить опыт подмастерьев Матемагов, можете воспроизвести эти результаты на обычном компьютерном симуляторе.


Число φ, Золотая Пропорция - победитель в соревновании, поэтому наши соцветия и семена будут располагаться по спирали, разворачивающейся под «Золотым» углом - 137,5о.



Углы 137,5о и 222,5о соотносятся в пропорции Золотого Сечения 1: 1,618. То, что угол 137,5о создает наиболее плотную упаковку семян в круглом цветоложе, было доказано и земными математиками (Ridley, 1982). Оптимальность Золотой Пропорции в плотной упаковке справедливо не только для плоскостей, но и для объемов – сфер, полусфер, форму которых можно часто встретить в цветах.


Мы поняли, за что Золотую Пропорцию так любят Матемаги, и почему в Архиве Шаблонов столь много матриц растений, использующих «Золотой» угол:





Просматривая в Архивах эти уже созданные Шаблоны, мы обнаружили занятную вещь. Оказалось, что Шаблоны неизменно состояли из правосторонних и левосторонних спиралей, количество которых всегда следовало определенному соотношению. Например, в этом желтом цветке на иллюстрации ниже голубых спиралей, закручивающихся влево, - 13, а синих, закручивающихся вправо – 21:




В других Шаблонах соотношения были 5/8, 21/34, 8/13, 13/21 и так далее, что привело нас к (явно неслучайному) ряду чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...........

В этом ряду каждое последующее число было суммой двух предыдущих: например, 13+21=34.

Мы были заинтригованы и обратились с вопросом к старшим Матемагам: отчего мы всегда встречаем эти загадочные числа в Шаблонах, созданных с Золотым углом? Те объяснили, что обнаруженный нами ряд – земное приближение к иррациональной Золотой Пропорции при помощи целых чисел. Соотношение каждых двух соседних чисел в этом ряду приближается к φ=1,618. Чем больше числа, тем ближе их соотношение к φ. На Земле теперь тоже знают об этом ряде и называют «числами Фибоначчи» по имени одного земного ученого, обнаружившего такую закономерность в живых созданиях.

Но почему Шаблоны часто используют именно числа Фибоначчи, а не саму Золотую Пропорцию, спросили мы. Дело в том, сказали Мастера, что спираль Золотого Сечения – непрерывность, она выходит из бесконечности и устремляется в бесконечность, а земная природа состоит из конечных объектов. Цветок не может расти с 1,618 соцветия. Он начинает от единицы, первого целого числа. Поэтому в самом начале последовательность Фибоначчи довольно сильно отступает от спирали Золотого Сечения, - как отставший воин, пытающийся попасть в ногу со своим отрядом, - но после двух-трех неловких шагов встраивается в ритм и идет почти в ногу, а потом и вовсе слаженно с остальными.

Мы поняли, что везде, где мы найдем числа Фибоначчи, будет незримо присутствовать Шаблон Матемагов - Золотое Сечение.

Мы решили, что последовательность Фибоначчи будет вполне приемлемой и для листьев нашего цветка, чтобы они располагались по спирали вокруг стебля равномерно, а солнечный свет с влагой доставались им поровну.

Мы открывали все новые свойства Золотой Пропорции в созданном нами опытном образце. Оказалось, что она позволяет масштабировать растущие структуры, создавая самоподобный фрактал. Есть только одно число, которое дает один и тот же результат при прибавлении себя и при умножении на себя, и это число φ - Золотая Пропорция. Она позволяет живым объектам и расти (увеличиваться в размере), и прирастать (добавлять новые части) с сохранением неизменной пропорции:



При размещении соцветий по спиралям Золотого Сечения соотношение между старыми и новыми фазами роста, обозначенными цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, остается неизменным и приблизительно равным той же Золотой Пропорции 1,618. Иллюстрация из книги: Gyorgy Doczi, The Power of Limits, 1981


Так мы написали алгоритм роста цветоложа в генетической матрице нашего цветка:




Когда мы завершили работу с шаблоном цветоложа, форма самих соцветий пришла естественным образом – конечно, пятиугольник! Потому что в Природе нет другого правильного многоугольника, столь совершенно объемлющего Золотую Пропорцию:





Пролистывая Архивы, мы обнаружили, что более половины видов растений на планете Земля были созданы с использованием пятиугольной симметрии. А уж геометрия съедобных растений и подавно основана на Золотой Пропорции – цветы фруктовых и плодовых растений обычно пятилепестковые:



Цветы растений со съедобными плодами, чьи цветки содержат Золотую Пропорцию. Верхний ряд: яблоня, вишня, абрикос, слива. Средний ряд: шиповник, арбуз, огурец, помидор. Нижний ряд: перец, баклажан, картофель, свекла.

А вот растения с одним, тремя, четырьмя или шестью лепестками нередко несъедобны и даже ядовиты, хотя могут использоваться как лекарства. Они основаны на геометрии √2 и √3, треугольниках и квадратах.

...