Это цитата сообщения Филофоб Оригинальное сообщение
[350x237]В качестве зачина немножко из евангельской истории. Все помнят чудо о том, как Господь накормил толпу народа несколькими хлебами и рыбами. Так вот, тому есть некоторый математический аналог. Заметьте аналог, а то сейчас меня еще уличать начнут в том, что я математику привлек для описании чуда. Это парадокс Банаха-Тарского, или парадокс удвоения шара (еще известен, как парадокс Хаусдорфа-Банаха-Тарского). Суть его в том, что "трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям". Получается, что шар можно "разбить" на куски и собрать из них два таких же шара. Вот так-то, мои юные недоверчивые друзья.
1=2
Эту парадоксальную штуковину великие польские (и мировые) математики Стефан Банах и Альфред Тарский открыли в 20-х годах ХХ века независимо друг от друга.
Неформально этот парадокс звучит так:
Любой шар можно разбить на конечное число кусков и составить из них два одинаковых шара того же радиуса, что и исходный.
И в процессе - ловкость рук и никакого мошенства!:))
Посильное разъяснение. Но не для людей с гуманитарным складом ума:((. Им остается только восхищаться гармоничным набором непонятных слов, что само по себе уже немало. Уловите мелодию и ее красоту, понимание придет потом.
Так вот:
Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара радиуса. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма, если под объёмом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности, и предполагаем, что объёмы двух конгруэнтных множеств совпадают. Очевидно, что "куски" в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике).
Для плоского круга аналогичная теорема неверна. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как конечно-аддитивная мера, инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь. Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и парадокс Банаха-Тарского даёт этому наглядную иллюстрацию.
Тем не менее, некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число (хватает 1050) частей и составить из них квадрат равной площади и при этом возможно сдвигать части только с помощью параллельных переносов.
А теперь сильнее держитесь за кресла - вас ждет потрясающее слабые земные умы уточнение:
Итак, вы уже знаете (но не верите!), что трёхмерный шар можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них два таких же шара. Так вот:
при этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.
Можете себе представить??? Нет, не можете, даже не пробуйте. А вот поверить...
Когда речь идёт о бесконечности, это дело одно... То есть бесконечным числом кусков вроде бы никого и не удивишь... Мало ли что в бесконечности может случиться... Но пять?!!...
Единственное, что "утешает" - это такая же "неконструктивность" парадокса, как неконструктивность аксиомы выбора. Он говорит, что сделать это можно, но не говорит, как. И как это сделать, не знает никто... Или почти никто...
И вот тут я как раз перехожу к той части, ради которой я и поднял эту тему. Додумался я до этого далеко не первый. Ссылок в интернете много. Но я на первенство и не претендую.))))
Я просто к тому, что это ведь какая суперская аллюзия на Евангельские пять хлебов! А?
То, о чем человек может мыслить лишь как об абстрактной возможности, от которой голова идёт кругом, для Бога - лишь апостериорное подтверждение Его практических (и вполне конструктивных) возможностей.
Пять хлебов было поделено в строгом соответствии с парадоксом Банаха-Тарского. )))
Внемлите:
6.1 После сего пошел Иисус на ту сторону моря Галилейского, в окрестности Тивериады.
6.2 За Ним последовало множество народа, потому что видели чудеса, которые Он творил над больными.
6.3 Иисус взошел на гору и там сидел с учениками Своими.
6.4 Приближалась же Пасха, праздник Иудейский.
6.5 Иисус, возведя очи и увидев, что множество народа идет к Нему, говорит Филиппу: где нам купить хлебов, чтобы их накормить?
6.6 Говорил же это, испытывая его; ибо Сам знал, что хотел сделать.
6.7 Филипп отвечал Ему: им на двести динариев не довольно будет хлеба, чтобы каждому из них досталось хотя понемногу.
6.8 Один из учеников Его, Андрей, брат Симона Петра, говорит Ему:
6.9 Здесь есть у одного мальчика пятьхлебов ячменных и две рыбки; но что это для такого множества?
6.10 Иисус сказал: велите им возлечь. Было же на том месте много травы. Итак возлегло людей числом около пяти тысяч.
6.11 Иисус, взяв хлебы и воздав благодарение, роздал ученикам, а ученики возлежавшим, также и рыбы, сколько кто хотел.
6.12 И когда насытились, то сказал ученикам Своим: соберите оставшиеся куски, чтобы ничего не пропало.
6.13 И собрали, и наполнили двенадцать коробов кусками от пяти ячменных хлебов, оставшимися у тех, которые ели.
6.14 Тогда люди, видевшие чудо, сотворенное Иисусом, сказали: это истинно Тот Пророк, Которому должно прийти в мир.
Евангелие от Иоанна. Глава 6
Напоследок об авторах, этих Апостолах Разума, одних из Единых Синедрионов и Явных Моголов Внутреннего храма, колоратурных гипнотизерах и спиритуозных контролерах человеческих душ - о польских чудотворцах Банахе и Тарском. Мы уже раньше писали о знаменитой Львовско-варшавской философской школе, лучшей в Европе и мире в период между двумя мировыми войнами. Считалось, что тогда все мат. логики в мире были поляками, но не наоборот, к счастью. Банах и Тарский были ее ярчайшими представителями. Про Банаха мы уже подробно писали (в том самом посте). А сейчас подробнее о Тарском. Ей-богу, он того заслуживает. Но не о биографии (см. Википедию), а о сути его достижений.
Мне он известен более всего как логик. Как исследователь "истины". Им была создана теория истинности; ему принадлежит так называемая "семантическая концепция истинности"; его результаты в этой области легли в основу формальной семантики.
Так случилось, что прежде чем я познакомился с работами самого Тарского, мне довелось узнать о нем через его предшественников и последователей (или исследователей).
Альфред Тарский был учеником замечательнейшего математика-философа-феноменолога Станислава Лесьневского. Именно с него у меня началось очень и очень тесное знакомство с Львовско-Варшавской философской школой.
Станислав Лесьневский
Он разработал свою триаду Прототетика-Онтология-Мереология как три теории, составляющие оснований математики. Я честно пытался разобраться в нотации, которую он использовал в Прототетике, но не смог... )))
Однако же, "по роду профессиональной деятельности" меня больше интересовала Мереология. Мереология Лесьневского это наука об отношении "часть-целое". По мысли Лесьневского эта его теория должна была прийти на смену теории множеств, которую в те годы до основания потряс парадокс Рассела, и многие ученые признали ее несостоятельность. По мнению Лесьневского, слабым местом теории множеств явилось постулирование пустого множества, которое он назвал "математической фикцией". Мереология была свободна от этого недостатка. Ее аксиоматика вполне обходилась без пустого множества и каких бы то ни было его аналогов. Естественно, теорию множеств мереология не заменила, но спустя больше чем полвека она нашла применение в других областях. Таких как алгебраическая лингвистика и онтологические исследования.
Однако же, рассказ я веду про Тарского.
Бертран Рассел в своё время отговорил молодого Людвига Витгенштейна от карьеры авиатора. Точно так же Станислав Лесьневский отговорил молодого Альфреда Тарского от карьеры биолога. Именно под его руководством Тарский написал диссертацию и получил степень доктора философии.
Сейчас очень много пишут и рассуждают о парадоксе лжеца и его развенчании. Про смешивание языка и метаязыка. Это смешивание, а точнее, разделение этих двух языков было предметом пристального внимания Тарского. Потому что установление истины требует тщательнейшего разделения этих языков.
А вот насчёт "последователей" - работами Тарского я заинтересовался не только благодаря Лесьневскому, но и Лукасевичу. (Ян Лукасевич — еще один ученый, которым я восхищаюсь. Один из главных представителей Львовско-варшавской школы. Он первым построил систему многозначной логики! И, если мне не изменяет память, первую бесконечнозначную логику тоже построил он).
Ян Лукасевич
Есть ещё современный финский учёный Яаакко Хинтикка.
Яаакко Хинтикка
Именно после его работы "Истина после Тарского" мне очень захотелось почитать и самого Тарского.
Вот. В общем, извините за сумбур. Просто тема эта (логические исследования Львовско-Варшавской школы) чрезвычайно обширна и мною очень любима, хоть и сложна, и понимаю я там далеко не всё. И как об этом рассказать, ума не приложу...
Источник :Сообщество Поп-математика для взрослых детей
Ступайте, месса окончена. И не грешите - делом займитесь. Следуйте заповедям Банаха-Тарского! Удвамножайте добро (придав ему, согласно условиям теоремы, сферическую форму - это обязательно и совсем нетрудно, даже приятно - попробуйте!)
Библейские задачи по физике и математике.
1. Рассчитайте методом криволинейных интегралов общую площадь всех присутствовавших на Тайной Вечери.
2. На Древе Познания росло 4 плода Познания Добра и 3 плода Познания Зла. Адам и Ева съели по 2 плода каждый. Какова вероятность того, что Адам не познал Зла, если известно, что Ева познала и Добро, и Зло?
4. Иисус изгнал бесов из двух бесноватых и вселил их в 2000 свиней.
Вопрос – сколько бесов было в бесноватых, если известно, что в первую тысячу свиней вселялось по одному бесу, а потом бесы заторопились: в 1001 вселилось уже двое бесов, и в каждую следующую свинью бесов вселялось все больше по закону арифметической прогрессии?
5. У Иуды есть 33 сребреника, из которых один фальшивый. Известно, что фальшивые монеты весят меньше настоящих. Сколько взвешиваний монет придётся произвести Иуде для вычисления фальшивого сребреника, учитывая, что гирь к весам нет и Иуда может класть на обе чашки весов только сребреники?
6. Иисус превратил в вино 8 литров воды. Как разделить это вино поровну для двух семей, если в их распоряжении есть только кувшины на 3 и 5 литров? Какое минимальное количество переливаний нужно сделать?
7. После убийства 1000 человек ослиной челюстью Самсон измерил массу последней. В сухом остатке онa составилa 214 грамм. Сколько весила челюсть до начала экзекуции, если Самсон может махать рукой с дозвуковой скоростью, а на убийство одного человека достаточно 70 kJ и 15 секунд.
Коэффициент стирания челюсти возьмите в анатомическом справочнике. Рассчитайте то же самое, увеличив скорость руки Самсона до 2 Мах.