Вот на этом сайте https://usa4mom.com/tamozhnya-i-perelet - очень ценная информация для тех, кто решил родить ребенка в США. В частности, на странице - "Таможня в США и перелет" - вы узнаете: что обязательно нужно взять с собой беременной женщине (в ручную кладь) при перелете, а также что можно перевозить, а что нельзя; какие особенности перелета на поздних сроках беременности; как лучше поступить, когда с беременной летят дети; как пройти паспортный контроль без задержек, прилетев на роды и много других тонкостей и особенностей.
Кстати, рожать в США не запрещается (медицина там на высоте). Запрещается оставаться на длительный срок (навсегда) без соответствующего на то разрешения. Относитесь к таможенной проверке спокойно, не нервничайте. Вам задают вопросы, потому что так положено, а не потому, что вас кто-то в чем-то подозревает. Все будет хорошо!