Решения задач 2006

аспирантура 2007 (задачи)

Механика ( 478,92 килобайт, PDF )
Электрод ( 571,41 килобайт, PDF )
Кванты ( 597,77 килобайт, PDF )
Ядро ( 162,82 килобайт, PDF )
Термостат ( 472,47 килобайт, PDF )
Оптика ( 3,21 мегабайт, PDF)

Ответы к задачам (неизвестно, каким) ( 158,66 килобайт, PDF)

Ans_Gos07_DimaBagrov.pdf (кроме
6, 9, 10, 13, 18, 19, 22, 25, 32, 37, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50) - комментарий самого Багрова: Даже при беглой проверке в файле Ans_Gos07_DB обнаруживаются ошибки:( Лучше использовать материалы к аспирантским задам, выложенные ранее в этой же теме).

Выскажу свое мнение о тексте из выложенной здесь методички. Ограничусь разделом "Термодинамика и статистическая физика".

1. Термодинамический подход к описанию молекулярных явлений. Температура.

Текст можно характеризовать как "сочинение не по теме". Текст очень большой, а в чем конкретно заключается "термодинамический подход к описанию молекулярных явлений", так и не раскрыто вовсе.

Определение температуры в тексте грубо неправильное. Температура не явлеется мерой средней кинетической энергии молекул. Для идеального ферми-газа при абсолютном нуле кинетическая энергия частиц отлична от нуля - такие вещи знать на 5-м курсе надо. Кроме того, в рамках термодинамического подхода понятие кинетической энергии молекулы определено быть не может, так как в термодинамике состояние системы задается "огрубленно", с помощью конечного числа параметров состояния. Определение температурных шкал также неправильное: по двум реперным точкам шкалу построить нельзя, так как надо еще, например, сказать, что для некоторого конкретного вещества закон теплового расширения представляется линейным.

Правильное раскрытие темы могло бы идти по следующему плану:

1. Термодинамический подход к описанию молекулярных явлений (достаточно 1-2 предложений).
2. Принцип термодинамической транзитивности (предложен Дж.Блэком во второй половине 18-го века, сказку про то, что он придуман только в 1921 г., отнесу к разряду анекдотов).
3. Понятие эмпирической температуры.
4. Температурные шкалы; основные трудности, возникающие при их построении.
5. Термодинамическая температурная шкала (определение термодинамической температуры из КПД цикла Карно, определение 1 К в системе СИ: тройная точка воды по определению полагается равной 273,16 К точно).

2. Первое начало термодинамики. Циклические процессы.

Формула для работы PdV верна только для случая, когда внешнее давление в каждый момент времени равно давлению газа! В процессе расширения газа в пустоту работа не совершается, а объем увеличивается.

Определение теплоты грубо неправильное. Теплота является функцией состояния только в концепции теплорода.

Первое начало термодинамики исторически формулировали так: в циклическом процессе сообщаемое системе количество теплоты пропорционально совершенной системой работе; коэффицииент пропорциональности является фундаментальной физической постоянной. Дело в том, что количество теплоты измеряли в калориях, а работу - в механических единицах (например, джоулях). Механический эквивалент теплоты определяет соотношение между джоулями и калориями. Видимо, формулировка темы подразумевает именно такое ее раскрытие.

Формула для первого начала термодинамики записана только для систем с постоянным количеством вещества.

Цикл на диаграмме изображается замкнутой кривой далеко не всегда. Сами подумайте, почему.

Остальной текст к раскрытию темы отношения не имеет (про циклы Карно в вопросе не спрашивают).

3. Второе начало термодинамики.

Формулировки Клаузиуса и Томсона и доказательство их эквивалентности верные. Далее следовало бы последовательно доказывать теорему о независимости КПД цикла Карно от вида рабочего тела, вводить термодинамическую шкалу температуры и понятие энтропии. Авторы текста вместо этого доказывают теорему о КПД цикла Карно, как если бы понятие энтропии было уже введено! Пользуются свойствами, которые надо доказывать!

4. Энтропия термодинамической системы. Термодинамические потенциалы.

В начале ответа идет некий текст, в котором много слов, значения которых не разъяснены. "Неравенство Клаузиуса", "равенство Клаузиуса"...

А вот термин "термодинамический потенциал" не разъяснен вовсе. Отсутствует указание на то, в каких переменных те или иные функции являются термодинамическими потенциалами. Отсуствует доказательство того, что именно в этих переменных функции являются ТД потенциалами.

Тема опять не раскрыта.

5. Взаимодействие молекул. Идеальный газ. Основные газовые законы.

Следует сказать, что такое идеальный газ, сначала в рамках термодинамического подхода, рассказать о том, какие опытные факты легли в основу газовых законов. Потом можно перейти к проблеме статистического обоснования свойств идеального газа, поговорить про взаимодействие молекул.

То, что написано, абсолютно не по теме.

6. Распределение молекул газа по скоростям. Идеальный газ во внешнем поле.

Формулы есть... Неплохо было бы как-то их еще и прокомментировать. А то получается, что студент зазубрил ответ к задаче, а само решение отсутствует.

Можно начать с барометрической формулы, с ее обоснования как методами гидростатики, так и термодинамическими методами (по Гиббсу); затем перейти к истории открытия и обоснования распределения Максвелла (сначала Максвелл его угадал, потом Больцман приложил много усилий для его обоснования, он придумывал разные способы, один из которых основан на Н-теореме).

7. Канонические распределения

Формулы есть, комментарии отсутствуют. Напоминает религиозный подход к обучению.

29, 30, 32 решаются через всем известное разложение решения уравнения Лапласа в ряд, так, по-моему, быстрее. К тому же сразу выяснится, что это просто дипольное поле :). Ну, правда, граничные условия для полей надо помнить еще, вот.

Пока школьник будет прикидывать чего там куда сдвинуто, специалист по сдаче экзаменов давно уже напишет ряд и покажет, что снаружи выживает только член с .

Задача 37 в случае детального анализа становится вовсе не элементарной.

Задача 50 (Считая, что разность энергий связи ядер 7Li и 7Be определяется только различием энергий кулоновского отталкивания протонов в них, оцените радиус этих ядер.) требует помнить наизусть коэффициенты в формуле Вайцзеккера.
Решать через дефекты масс нельзя, они не даны.

32:
У нее надо найти поле на оси, а не во всем пространстве, т.е. сразу можно представить вращающийся шарик, как совокупность колечек с током. Останется только проинтегрировать по шарику.

Задача 13. (о решениии Oneill)
Задача не пространственная, а плоская!
Пусть частица движется со скоростью V. За время t она попадает на участок стенки L, если в начальный момент времени она находится в объеме LV_x t (ось Ox перпендикулярна стенке). Это происходит с вероятностью LV_x t/S, где S - площадь всего сосуда. Теперь суммируем по всем частицам, летящим к стенке (их N/2): Lt/S \times \sum_i V_{xi} = nLtV/2 \times <\cos \varphi>. Среднее значение косинуса на интервале от -\pi/2 до \pi/2 равно 2/\pi. Получаем ответ nLVt/\pi.

Задача 15.

Ответ получается в виде неявной функции. Если бы требовалось найти зависимость объема от температуры - функция была бы явной.

Задача 16.

Задача переопределена: для одного моля заданы параметры P_0, V_0, T_0, которые связаны соотношением P_0V_0=RT_0. Это означает, что верный ответ можно записать бесконечным числом способов: скажем, вместо V_0 написать RT_0/P_0, поэтому при проверке на это надо будет обратить внимание.

Здесь проблем нет, задача простая...C_v задана косвенно, так как сказано, что газ одноатомный. Я писал о том, что в условии лишние данные (для одного моля газа даны и давление p_0, и температура T_0, и объем V_0 - тогда как заведомо достаточно двух данных из трех), в результате чего окончательный ответ можно писать в разных видах, и все варианты ответов будут правильными.

Задача 17.

Хитрая задача. Двухатомность тут не нужна. Но вообще в подобных задачах заменять заданную изохорную теплоемкость на число атомов нельзя. Действительно, большинство двухатомных газов при комнатной температуре имеют молярную изохорную теплоемкость 5R/2, так как колебательная степень свободы заморожена. А вот при температурах порядка нескольких тысяч кельвин мы должны колебательную степень свободы считать классической - и изохорная теплоемкость будет 7R/2. А для некоторых соединений из тяжелых атомов (например I_2) даже комнатные температуры являются достаточно высокими, и колебательная степень свободы оказывается скорее классической, чем квантовой.

Задача 18.

Не очень хорошо, что одно из данных числовое (\nu = 2 моль), а остальные данные заданы буквами. Лучше бы ввести количество вещества в буквенном виде и представить ответ в виде формулы с \nu - иначе анализ размерностей там не проведешь. Еще надо отметить, что во всех справочниках постоянные a и b пересчитываются на один моль:
P = RT/(V_m-b ) - a/V_m^2,
где V_m - молярный объем. Тогда размерность а - Дж\cdot м^3/моль^2, размерность b - м^3/моль. Это важно, чтобы проверять ответ на предмет правильной размерности.

В решениях Уравнение адиабаты действительно написали неверно. Надо понимать, что для газа ВдВ это уравнение пишется как S=const, а явный вид энтропии можно считать известным. Что касается совершенной работы, то проще всего ее вычислить как изменение внутренней энергии с обратным знаком, а для газа ВдВ явный вид внутренней энергии также известен.

Задача 19.

Фраза "используя метод термодинамических потенциалов" звучит не очень хорошо. На всех олимпиадах не рекомендуется указывать школьнику, каким способом он должен решать задачу. Главное - чтобы задача была решена, и способ был правильный, - а уж любое правильное решение задачи должно оцениваться в полный балл - основная заповедь всех жюри олимпиад. Вот допустим, кто-то из студентов решит эту задачу без использования термодинамических потенциалов - так что, снижать за это оценку?

Что касается уравнений состояния в условии, то вообще-то давление и внутренняя энергия являются функциями температуры, объема и количества вещества (P(T,V,\nu) и U(T,V,\nu)), или надо писать эти соотношения для одного моля как P(T,V_m) и U_m(T,V_m).

Кстати, в этой задаче, как и в предыдущих, неплохо было бы отметить, что температура рассматривается по термодинамической шкале: уж в этой задаче этот факт используется!

Задача 22.

Задача о напряженности поля отрезка нити решается так: надо отрезок согнуть в дугу окружности и показать, что напряженность при этом не изменится. А чтобы найти напряженность, создаваемую дугой окружности в ее центре, надо повернуть дугу и посмотреть, на сколько напряженность при этом изменится.

Задача 24.

Пожалуй, самая красивая задача термодинамической части.

Задача 29.

Плотность заряда в условии получена так: взяты два однородно заряженных шара и сдвинуты на малое расстояние друг относительно друга. Вне сферы эти шары стягиваем в точку, получаем поле диполя; внутри - поле однородное...

http://nuclphys.sinp.msu.ru/problems/p02.htm

Задача №10 соответствует задаче №5.60 задачника Ольховского.

По поводу задачи №13. Может быть, я ошибаюсь, но ответ случайно не nvtl/4 ? На первый взгляд не видно подвоха

Задача №22 не совсем тождественна №16. В 22ой нет условия одноатомности!

Задача 34. Решение (картинка)

Задача 37. Есть подозрения, что в решениях из аспирантуры она решена не очень верно..

Судя по различной литературе, значения n и d1, данные в условии, просто лишние. А максимальный порядок дифракционной картины равен 1. Т.к. дифракционных максимумов в картине Фраунгоффера в случае синусоидальной (косинусоидальной) решетки будет всего три ( нулевой , первый, минус первый ).

2Шведов:

Но и задача о напряженности поля отрезка нити решается школьными методами. Там идея такая: надо отрезок согнуть в дугу окружности и показать, что напряженность при этом не изменится. А чтобы найти напряженность, создаваемую дугой окружности в ее центре, надо повернуть дугу и посмотреть, на сколько напряженность при этом изменится.

2 Oneill: Задача 13. Пусть частица движется со скоростью V. За время t она попадает на участок стенки L, если в начальный момент времени она находится в объеме LV_x t (ось Ox перпендикулярна стенке). Это происходит с вероятностью LV_x t/S, где S - площадь всего сосуда. Теперь суммируем по всем частицам, летящим к стенке (их N/2): Lt/S \times \sum_i V_{xi} = nLtV/2 \times <\cos \varphi>. Среднее значение косинуса на интервале от -\pi/2 до \pi/2 равно 2/\pi. Получаем ответ nLVt/\pi.

Ну зачем это делать, когда можно посчитать элементарный интеграл от тригонометрической функции? Не зря же мы математику учили

Задача 27: ответ Ex = Ey = k/a + (by Шведов) надо в ответе обязательно указать, в СИ или СГС он записан...

задача 25
решение (картинка)

В задаче №49 составитель по ошибке написал распад на два гамма кванта? Иначе это куда как более сложная задача и как её тогда решать? Так, в И.М. Капитонов "Введение в физику ядра и частиц" стр 206. говорится о том, что мюон не может распадаться на электрон и гамма квант, так как мюонный заряд L_mu не равен электронному L_e.

Задача 48.
решение

В задаче 49 распад, конечно же, предполагается на электрон, электронное антинейтрино и мюонное нейтрино!
Имхо, абсолютно недопустимы подобные опечатки в официально утвержденном документе.

http://www.dubinushka.ru/forums//index.php?showtopic=13262