Прошу прощения у тех читателей, которые не специалисты в этой области - но уж очень волнующая новость для меня!

Окна (в области обработки сигналов) используются при спектральном анализе с помощью преобразования Фурье - чтобы уменьшить явление Гиббса, боковые лепестки. В звуковых редакторах, вроде Cool Edit Pro, при вызове функции спектрального анализа звука, пользователю предоставляется возможность выбрать одно из нескольких стандартных окон. Широко известны такие окна, как прямоугольное, треугольное, Ханна, Хэмминга, Кайзера... Все они по-своему хороши, но являются компромиссами, и поэтому не существует идеального окна на все случаи жизни. Приходится каждый раз выбирать.

Довольно широко известно также окно Чебышева (Dolph-Chebyshev window), названное в честь великого русского математика прошлого. Конечно, в те времена спектральным анализом еще никто не занимался, и сам Чебышев не придумал это окно. Однако для нахождения этого окна (его коэффициентов) используются полиномы Чебышева - вот их-то он и придумал.

Это мое любимое окно, можно так сказать. Как и большинство вещей, ассоциирующихся с фамилией \"Чебышев\", это окно имеет свойство равенства всех боковых лепестков. Высоту их можно настраивать по выбору, что делает область применения очень широкой. Для коэффициентов окна найдены аналитические формулы, и они несложные, так что генерировать нужного вида окна Чебышева можно в программе в любой момент.

Кроме спектрального анализа, коэффициенты окна Чебышева являются также отличным фильтром низких частот - на тот случай, если нужно выделить самые-самые низкие частоты. Несложное преобразование превращает его в фильтр высоких частот. Есть и некоторые другие области применения, пока секретные, потому что до меня их никто не нашел еще, может удастся статейку опубликовать на эту тему!

Так вот, всем хорошо окно Чебышева, но до сегодняшнего дня не хватало ему одного. Те аналитические формулы, по которым задается окно (Peter Lynch - \"Dolph-Chebyshev Window...\") - они заданы только в дискретном времени - в отличие от всех прочих окон, которые также существуют в непрерывном времени.

В этих формулах - полиномы Чебышева того порядка, какова длина окна (в дискретных отсчетах). А в непрерывном времени окно имеет бесконечное число точек, так что по идее и порядок этих полиномов должен стремиться к бесконечности. Я догадывался, что они должны при этом переходить в синусы и косинусы, но как-то подступиться к тому, чтобы найти этот предельный переход, я не мог. Догадывался, что на концах окна Чебышева в непрерывном времени должны быть дельта-функции: из теоретических соображений, да и поведение окна в дискретном времени к этому стремилось, при большом числе коэффициентов. Но опять же - найти путь к решению не получалось.

И в литературе нигде не было ничего подобного. Была какая-то программная библиотека, которая могла найти значения этой функции, при некоторых условиях - но как она их ищет, не было написано, да и аналитического выражения тоже не было.

И вот сегодня я опять решил пройтись по интернету - и - о чудо! Оказывается, нашли все-таки решение! Авторы Desbiens и Tremblay, \"A new efficient approach to the design of parametric windows with arbitrary sidelobe properties\".

В этой статье приведено и соответствующее аналитическое выражение, которое оказалось на удивление простым! Так, в частотной области:

H(ksi) = epsilon * cos(c*sqrt(ksi^2-1))

То есть таки да, перешли полиномы Чебышева в косинус! А выражение даже проще, чем в дискретном времени - там была дробь, и полиномы Чебышева трижды в нее входили. Во временной области имеются дельта-функции, как и ожидалось. А также функция Бесселя - вот это уже вне пределов моих знаний, трудно понять, откуда она там взялась.

В названии функции, к сожалению, фамилия Чебышев уже не фигурирует, а фигурирует какой-то голландец Ван Дер Маас (van der Maas). Ну хотя это не важно, главное - что решение найдено! И попутно с ним еще много интересного - всю статью надо читать.