Досуг происходит от гл. досягать – достигать. И исходно досуг означает «то, чего я досяг, достиг», т.е. - достижение (укр. досягнення), результат, а не безделие.
К примеру, собрал добрый хозяин урожай в закрома – это его достижение, его досуг. И теперь на этих запасах – на досуге - он уже может всю зиму прожить и делать, что хочет. Это – досужий хозяин, т.е. умелый, успешный, с достижениями.[1]
А другой - ничего не собрал, нет у него достижения, нет досуга. И теперь у него недосуг – будет бегать, искать, добывать что-то. Это – недосужий человек, то бишь неудачливый, невезучий.[2]
Так что досуг – это не безделье, не праздность лентяя, а отдых того, кто уже потрудился, получил свой результат-достижение-досуг и теперь вправе отдохнуть - на досуге.
[1] Досужий, досужливый - умеющий, способный к делу, ловкий, искусный, хороший мастер своего дела - досужник. (У милостивого мужа всегда жена досужа. Жена досужа добра и без мужа.)
Досужесть, досужество - свойство досужего; уменье; ловкость, способность к делу, к мастерству. Досужество дороже досуга. Человек или конь с досугом, с досужеством, с уменьем или с особенно добрыми качествами. (Даль.)
[2] Он от недосуга бегает. Ему недосужиться. Недосуги смяли, с ног сбили. С сука на сук - все недосуг. (Даль.)
От сообщества _СМЫСЛЫ_СЛОВ_