|
Рассмотрим все делители некоторого числа N, меньшие его самого. Например, число 12 делится на 1, 2, 3, 4 и 6. Такие делители называются собственными делителями числа. Сумма этих делителей 1+2+3+4+6=16, больше самого числа 12. Для числа 33, наоборот, сумма 1+3+11=15 ,меньше 33.
В первой сотне существуют два числа, которые равны сумме своих собственных делителей. Это 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14. В пифагорействе в рамках концепции «число – мера всех вещей», число 6 выражало ни много ни мало, а само совершенство! С тех пор термин «совершенное число» используется в теории чисел для обозначения таких N, которые равны сумме всех своих собственных делителей.
Числа, вроде 12, у которых сумма своих собственных делителей превосходит само число, называются избыточными. Те же числа, у которых сумма собственных делителей меньше самого числа (как у 33), называются недостаточными.
От Пифагора и его школы пошло ещё много математических терминов, например, квадраты, кубы, треугольные числа и т.д. А сейчас увидим, как по Пифагору числа выражали дружбу.
Возьмём число 220. Сумма его собственных делителей: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Для числа 284 сумма собственных делителей составит:
1+2+4+71+142=220
И мы получаем исходное число. Итак, числа 220 и 284 связаны крепкой дружбой: каждое из них является суммой собственных делителей другого.
Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских хорошо раскрывается в англоязычных источниках.
Компанейскими называется така группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.
Почему-то в группы по трое числа не собираются (или по крайней мере, о таких не известно), зато есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников!
Пример пятёрки (пока единственной известной): 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
Сумма собственных делителей числа 12496:
1+2+4+8+11+16+22+44+71+88+142+176+284+568+781+1136+1562+3124+6248=14288
Для числа 14288:
1+2+4+8+16+19+38+47+76+94+152+188+304+376+752+893+1786+3572+7144=15472
Для 15472:
1+2+4+8+16+967+1934+3868+7736=14536
14536:
1+2+4+8+23+46+79+92+158+184+316+632+1817+3634+7268=14264
И для числа 14264:
1+2+4+8+1783+3566+7132=12496
И возвращаемся к первому из чисел компании.
В связи с этим возникает вопрос. Возьмём натуральное число, затем заменим его на сумму собственных делителей. Так будем поступать и далее. Получаемая последовательность называется аликвотной. Как она может развиваться?
Понятно, что если в этой последовательности встретится простое число, то следующим членом будет единица и последовательность остановится. Если в ней попадётся совершенное или одно из дружественных или компанейских чисел, возникнет цикл длины 1, 2 или более. Но существует ли число, для которого последовательность сумм собственных делителей будет бесконечно расти – неизвестно. Ситуация аналогична с задачей 3x+1.
Одним из кандидатов на безграничный рост является число 276.
276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, |