Евгений Моргунов родился 27 апреля 1927 года в Москве в семье Александра Семёновича Моргунова. Отец рано покинул семью, мать воспитывала сына одна. Работала на заводе, затем санитаром в роддоме Остроумовской больницы.

Евгения Моргунова в лицо знает каждый любитель советских комедий, хотя мало кто из нынешней молодежи интересуется, как зовут Бывалого из неразлучной гайдаевской троицы. Моргунов был человеком прямолинейный, любителем шуток и розыгрышей. Детство юного Моргунова было спокойным. Мальчик играл в художественной самодеятельности, увлекался дворовым футболом и много времени проводил с друзьями. Подростковый возраст пришелся на начало Великой Отечественной войны. Чтобы помочь матери, подросток с 14 лет работал на военном заводе, где занимался тяжелой трудовой деятельностью. Артист по 12 часов подряд обтачивал болванки для снарядов. За такой самоотверженный труд юноша вскоре получил грамоту, однако до конца своих дней Евгений Александрович считал, что не делал ничего особенного. В то же время молодой Моргунов увлёкся кино. Вскоре он загорелся идеей стать актёром. Кроме участия в самодеятельности он успел сняться в массовке на киностудии "Мосфильм", а затем захотел превратить в актёрство свою жизнь.