Математика владеет не только истиной,
но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой,
возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству,
которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
/Бертран Рассел /

Выпуклые однородные многогранники

Определение. Многогранник - это множество многоугольников, ограничивающих часть трёхмерного пространства.
Согласно теореме Евклида, применимой ко всем выпуклым многогранным углам, в любом из них сумма плоских углов при вершине меньше 360 градусов.

Однородные многогранники - все грани которых правильные многоугольники, вблизи любой вершины расположены в едином порядке.

Многогранник называется правильным, если все ограничивающие его многоугольники одинаковы.

«Начала» Евклида доказывают, что существуют 5 и только 5 правильных многогранников.
В наше время они известны под именем пяти платоновых тел.

Платоновые тела (правильные многогранники):

1. Тетраэдр - 4 треугольника
2. Октаэдр - 8 треугольников
3. Гексаэдр (куб) - 6 квадратов
4. Икосаэдр - 4 х 5 треугольников в вершине
5. Додекаэдр - 2 х 6 пятиугольников



Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.
Все термины пришли от древних греков.

Самая идеальная линия – прямая.
Самый идеальный многоугольник – правильный многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы.
К правильным многоугольникам (равные стороны и равные углы) относятся: треугольник (3 стороны), квадрат (4 стороны), пентагон (5 сторон), гексагон (6 сторон), октагон (8 сторон) и декагон (10 сторон).

Но только 3 из всех правильных многоугольников могут являться гранями правильных многогранников:
куб – квадратные грани; тетраэдр, октаэдр, икосаэдр – равносторонние треугольники, додекаэдр – пентагоны.

Великий математик Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу:
В – Р + Г = 2, где В – количество вершин, Р – количество рёбер, Г – количество граней в многограннике.

Для понимания структуры многогранников интересно заняться их раскраской, где существуют свои правила.
Термин энантиоморфный. Он выражает свойство быть «правым» или «левым» экземпляром. Если выбрать какой-либо порядок цветов и раскрасить грани, примыкающие к некоторой вершине в этом порядке по часовой стрелке, то энантиоморфной раскраской будет обратная – в том же порядке против часовой стрелки.

1. Тетраэдр является простейшим среди многогранников, гранями которого являются 4 равносторонних треугольника. Его можно считать трёхмерным аналогом плоского правильного треугольника, поскольку он имеет меньше всего граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани правильные многоугольники, каждая грань отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой.



2. Октаэдр – это многогранник, гранями которого являются 8 равносторонних треугольников. Его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях и можно обойтись четырьма красками – вторая половина энантиморфна первой.



3. Гексаэдр (куб) – самый известный и широко используемый многогранник. Все его 6 граней квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине.
Среди правильных тел самое первое, начало и родитель всех остальных - куб, а его , так сказать, супруга - октаэдр, потому что у октаэдра столько углов, сколько у куба граней.


4. Икосаэдр – по простоте следующий за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то, что гранями каждого является равносторонние треугольники. При изготовлении модели выбрано два возможных варианта распределения пяти цветов окраски.
Вариант 1 – у каждой вершины все 5 цветов, но противоположные грани окрашены одинаково.
Вариант 2 – противоположные грани окрашены в одинаковые цвета, но у каждой вершины, за исключением двух полярных, повторяется по кругу один цвет.

Икосаэдр вариант I


Икосаэдр вариант II



5. Додекаэдр – представляет наибольшую привлекательность среди платоновых тел, соперничая с икосаэдром Модель этого многогранника можно сделать четырёхцветной двумя способами. Если воспользоваться шестью цветами, то противоположные грани легко сделать одноцветными.



Может кто-нибудь подумает:- А зачем многогранники строить? Какая от них польза?
На это можно ответить: - А разве всё красивое полезно? Впрочем, возможно усмотреть известную пользу, которую приносят модели в качестве декоративных украшений.