о, диффуры :) с краевыми условиями :)
давно не брал я в руки шашек, но сейчас я спать... завтра попробую вспомнить :)

Ответ на комментарий Dimonius91929631 # буду просто безумно благодарен, если вспомнишь)) ей Богу, пиво отправиться во Владивосток :)

Короче так.
Не знаю, откуда начать объяснять и нужно ли что-то пояснять. кое-что постараюсь пояснить. Может вообще нужно было решить каким-то другим методом.
Решал как неоднородную диффуру второго порядка. Решение таких диффур складывается из частного (~y) и общего (Y) решения, т.е.
y = ~y + Y
а коэффициенты находятся из начальных условий.
Поехали...
Общее решение: Y=C₁e^k₁x + C₂e^k₂x, где k₁ и k₂ - корни характеристического уравнения однородной части, т.е. по y" - y':
имеем k₁² - k₂ = 0
получили корни k₁ = 0 , k₂ = 1
общее решение Y=C₁ + C₂e^x
(можно ещё добавить, что решения линейно независимы: e⁰ / e^x = 1/e^x != const)

Далее работаем с частным решением (по неоднородной части уравнения: -3e^x).
Судя по этому выражению, частное решение имеет вид:
~y = Q_n(x)x^re^ax, где
n - степень полинома, равный степени полинома в (-3e^x), т.е. n = 0 (константа Bx⁰ = B)
r - число корней хар.уравнения, равных a (т.е. a = k₂ = 1, значит r = 1), таким образом частное решение
~y = Bxe^x
Подставляем это частное решение в исходное уравнение:
~y' = B(e^x + xe^x) = Be^x(1 + x)
~y" = B(e^x + e^x + xe^x) = Be^x(2 + x)
~y" - ~y' = Be^x
отсюда получам константу B = -3, т.е. частное решение имеет окончательный вид:
~y = -3xe^x;

Итоговое решение уравнения:
y = ~y + Y = C₁ + C₂e^x - 3xe^x
Разбираемся с коэффициентами C₁ и C₂.
Для этого нам даны начальные условия:
y(0), т.е. при x=0 имеем y(0) = C₁ + C₂ = 6;
y' = C₂e^x - 3(e^x + xe^x),
y'(0) = C₂ - 3 = 2, отсюда C₂ = 5, и следовательно, C₁ = 1

ИТАК ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ:
y = 1 + 5e^x - 3xe^x = e^x(5 - 3x) + 1;

Проверить решение можно взять первую и вторую производные от этой функции и вычесть (как в уравнеии)... у меня получилось -3e^x

Вроде как диффура решилась :)

ой получилось все правильно НЕ -3xe^x, а ИМЕННО то, что надо: -3e^x

что касается общего алгоритма решения таких уравнений, то он достаточно сложен, ибо этому посвящена целая дисциплина на мат.факах - "дифференциальные уравнения".
Суть проста - восстановить функцию (или семейство функций), производные которой фигурируют в уравнении.

Вроде неплохо на начальном уровне описано и можно посмотреть в книжечке Шипачева В.С. "Задачник по высшей математике"

если бы я был Нобелем, я бы вручил тебе Нобелевскую премию.
если бы я был стройной блондинкой с третьим размером - я бы вытатуировал твоё имя и фотографию у себя на груди и маршировал на красной площади.
но, увы, ни того, ни другого не случилось...
СПАСИБО ОГРОМНЕЙШЕЕ!
Ты спас очень много людей :)

/me, блин, ну хоть кому-то помогло то, чему кое-как учился 5 лет :)))

Извини, но далек от этого!