Из определений…

Химера
1. Неосуществимая, несбыточная и странная мечта (книжн.).
2. Скульптура фантастического чудовища (спец.) [первонач. в древнегреческой мифологии: опустошавшее страну огнедышащее трёхголовое чудовище, полулев-полукоза с хвостом-змеёй].

Интересное сочетание… и мечта и чудовище…

Погоня за химерой
Бесполезная трата времени жизни или самой жизни