[400x300]Топологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией); является основным объектом изучения топологии.

 

Исторически понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства. Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики. Среди дальнейших обобщений представлений о множестве с пространственной структурой — псевдотопологическое пространство[1].

 

Определение[править | править код]

Пусть дано множество ${\displaystyle X}$. Система ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ его подмножеств называется тополо́гией на ${\displaystyle X}$, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$; то есть для любого индексирующего множества ${\displaystyle A}$ и семейства ${\displaystyle U_{\alpha }\in {\mathcal {T}},\alpha \in A}$, выполнено ${\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}}$.
2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$; то есть если ${\displaystyle U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots ,\;n)}$, то ${\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {T}}}$.
3. ${\displaystyle X,\;\varnothing \in {\mathcal {T}}}$.

Пара ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$ называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, называются открытыми множествами.

Множества, являющиеся дополнениями к открытым, называются замкнутыми.

Всякое открытое множество, содержащее данную точку, называется её окрестностью.