Если меньшая окружность имеет радиус r, а большая окружность имеет радиус R = kr, то параметрические уравнения для кривой могут быть заданы либо:

${\displaystyle x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right),}$

или:

${\displaystyle x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,}$

${\displaystyle y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right).\,}$

Если k - целое число, то кривая замкнута и имеет k острых точек (т.Е. острых углов, где кривая не дифференцируема).Специально для k = 2 кривая представляет собой прямую линию, а окружности называются кругами Кардано.Джироламо Кардано был первым, кто описал эти гипоциклоиды и их применение для высокоскоростной печати.[1][2]

 

Если k is a рациональное число, скажем, k = p/q, выраженное в простейших терминах, то кривая имеет точки p cusps.

 

 

Если k − иррациональное число, то кривая никогда не замыкается и заполняет пространство между большей окружностью и окружностью радиуса R - 2r.

 

 

Каждая гипоциклоида (при любом значении r) является брахистохроной для гравитационного потенциала внутри однородной сферы радиуса R..[3]

 

 

Площадь, заключенная в гипоциклоиду, определяется следующим образом: [4][5]

 

${\displaystyle A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}}$