Мобильный LiveInternet Без заголовка | роза-вироза

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

[показать]Основа

[показать]Фундаментальные понятия

[показать]Эксперименты

[показать]Формулировки

[показать]Уравнения

[показать]Интерпретации

[показать]Развитие теории

[показать]Сложные темы

[показать]Известные учёные

См. также: Портал:Физика

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемыхнекоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределённостей^{[ 1]} задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Содержание

[убрать]

Краткий обзор[править | править вики-текст]

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.^{[ 2]}

Согласно принципу неопределённости у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс)^{[ 3]}. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата — или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата).

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!^{[ 4]}), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть её координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её операторкоммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье^{[ 5]}.

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствамиволн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что $p_x = \hbar k_x$ , то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение $\hbar$ чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей^{[ 6]} наших приборов или органов чувств.

Определение[править | править вики-текст]

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения $\Delta x$ координаты и среднеквадратического отклонения $\Delta p$ импульса, мы найдем что:

$\Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$ ,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что $x$ может быть измерен с высокой точностью, но тогда $p$ будет известен только приблизительно, или наоборот $p$ может быть определён точно, в то время как $x$ — нет. Во всех же других состояниях и $x$ , и $p$ могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Варианты и примеры[править | править вики-текст]

Обобщённый принцип неопределённости[править | править вики-текст]

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: $A\colon H \to H$ и $B\colon H \to H$ , и любого элемента $x$ из $H$ такого, что $ABx$ и $BAx$ оба определены (то есть, в частности, $Ax$ и $Bx$ также определены), имеем:

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

$\frac{1}{4} |\langle x|AB-BA|x \rangle|^2 \leqslant \|Ax\|^2\|Bx\|^2.$

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор $AB-BA$ называют коммутатором $A$ и $B$ и обозначают как $[A,B]$ . Он определен для тех $x$ , для которых определены оба $ABx$ и $BAx$ .

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, $A$ и $B$ — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если $AB\psi$ и $BA\psi$ определены, тогда:

$\Delta_{\psi}A\,\Delta_{\psi}B \geqslant \frac{1}{2}\left|\left\langle\left[A,{B}\right]\right\rangle_\psi\right|$ ,

где:

$\left\langle X\right\rangle_\psi = \left\langle\psi|X|\psi\right\rangle$

— среднее значение оператора величины $X$ в состоянии $\psi$ системы, и

$\Delta_{\psi}X = \sqrt{\langle{X}^2\rangle_\psi-\langle{X}\rangle_\psi^2}$

— оператор стандартного отклонения величины $X$ в состоянии $\psi$ системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов $A$ и $B$ , которые имеют один и тот же собственный вектор $\psi$ . В этом случае $\psi$ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для $A$ и $B$ .

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости[править | править вики-текст]

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных $A$ и $B$ , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

$\Delta x_i \Delta p_i \geqslant \frac{\hbar}{2}$

отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

$\Delta J_i \Delta J_j \geqslant \frac {\hbar} {2} \left |\left\langle J_k\right\rangle\right |$

где $i,$ $j,$ $k$ различны и $J_i$ обозначает угловой момент вдоль оси $x_i$ .

следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

$\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Здесь $\Delta E$ - неопределенность изменения энергии системы, $\Delta t$ - длительность измерения. Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет.^[1]

Принцип неопределённости