"Ёшкин кот" (Йошкар-Ола0
Да, кстати, а в чем кроется тайна отношения к самой букве "ё"? Известно, что у нас любое энергичное выражение, которое начинается на букву "Ё", может рассчитывать на популярность и успех. Например, "ёкарный бабай", "ё моё" и т.д. Что-то в этой букве есть энергическое, воспринимающееся как крепкое словцо... Недаром, и букве этой поставлен особый памятник:
Ответ простой - никто этого не знает!!! Некоторые полагают, что дело в коте: «Достаточно одного кота в любом тексте, и внимание публики обеспечено. От древнеегипетского священного через нашего отечественного Кота-баюна к булгаковскому Бегемоту, а также к бесконечным "котегам" интернета, — путь кота всегда заметен и славен", - утверждает Е.В.Черникова, писатель, журналист, преподаватель кафедры журналистики Московского института телевидения и радиовещания «Останкино».
Известные булгаковские персонажи
Если взять кота в кинофильм, зритель обязательно запомнит кадры с его участием. Если ввести в речь киногероя котосодержащее выражение, оно непременно укоренится.

Памятник котенку Фунтику
Наблюдатели сходятся во мнении, что выход "Ёшкина кота" состоялся в фильме "Любовь и голуби". Легко поверить в народность выражения, когда герои родом из деревни, а играют их блистательные актеры, — и все кажется таким естественным и гармоничным.
В интернете циркулирует версия: "возможно, это Кот-баюн от Бабы-яги». Нельзя согласиться. Баба-яга у нас ассоциируется со ступой, помелом, курьими ножками. Да, с ней на одной территории проживает черный кот, но он (ввиду законов русской грамматики) был бы Ёжкин, то есть Бабкин-Ёжкин, а вовсе не Ёшкин. Да и с чего бы коту Бабки-Ёжки стать междометием, которым наш народ выражает досаду, восторг, удивление и прочие очень сильные эмоции? Однако в словаре "Русский мат" профессора Т. Ахметовой подобного "ёшкиного кота" тоже нет.
Промежуточный вывод: русско-говорящая часть человечества не располагает точными научными данными о происхождении "е(ё)ш(ж)кина(-ого) кота" и занимается в основном интерпретациями, основанными на очаровании кота как такового. С другой стороны, известно, что у нас любое энергичное выражение, которое начинается на букву "Ё", может рассчитывать на популярность и успех. Сочетание двух столь привлекательных компонентов, видимо, и определило популярность выражения. Наверное, "е(ё)ш(ж)кин кот" — это авторский неологизм, созданный по случаю в новое время (в конце ХХ века) и воспринятый как фольклорный».
Источник: сайт "Наша планета". Соображения Е.В.Черниковой, писательницы, журналиста, преподавателя кафедры журналистики Московского института телевидения и радиовещания «Останкино»